第四章 非线性回归模型的线性化

以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如 yt = ? 0 + ?1xt?1+ ut yt = ? 0 e?1xt+ ut

上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。

另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。

4.1 可线性化的模型

⑴ 指数函数模型

bx?u yt = aett (4.1)

b>0 和b<0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得

Lnyt = Lna + b xt + ut (4.2)

令Lnyt = yt*, Lna = a*, 则

yt* = a* + bxt + ut (4.3) 变量yt* 和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。

50Y140302010X001234

bxt?ut

, (b < 0)

图4.1 yt =ae

bxt?ut, (b > 0) 图4.2 yt =ae1

⑵ 对数函数模型

yt = a + b Ln xt + ut (4.4)

b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = Lnxt, 则

yt = a + b xt* + ut (4.5)

变量yt 和xt* 已变换成为线性关系。

图4.3 yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0) 图4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0)

⑶ 幂函数模型

yt = a xt beut (4.6)

b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得

Lnyt = Lna + b Lnxt + ut (4.7)

令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为

yt* = a* + b xt* + ut (4.8)

变量yt* 和xt* 之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。(4.7) 式也称作全对数模型。

图4.5 yt = a xt bet 图4.6 yt = a xt bet

uu

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⑷ 双曲线函数模型

1/yt = a + b/xt + ut (4.9)

也可写成，

yt = 1/ (a + b/xt + ut) (4.10)

b>0情形的图形见图4.7。xt和yt的关系是非线性的。令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得

yt* = a + b xt* + ut

已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。

图4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b > 0) 图4.8 yt = a + b/xt , (b > 0)

双曲线函数还有另一种表达方式，

yt = a + b/xt + ut (4.11)

b>0情形的图形见图4.8。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = 1/xt，得

yt = a + b xt* + ut 上式已变换成线性回归模型。 例 4.2（P139，例3.5

⑸ 多项式方程模型

一种多项式方程的表达形式是

yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)

其中b1>0, b2>0, b3>0和b1<0, b2>0, b3<0情形的图形分别见图4.9和4.10。令xt 1 = xt，xt 2 = xt2，xt 3 = xt3，上式变为

yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut (4.13)

这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。

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图4.9 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 图4.10 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut

另一种多项式方程的表达形式是

yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut (4.14)

其中b1>0, b2>0和b1<0, b2<0情形的图形分别见图4.11和4.12。令xt 1 = xt，x t 2 = xt 2，上式线性化为，

yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (4.15)

如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。

图4.11 yt = b0 +b1xt + b2xt2 + ut 图4.12 yt = b0 + b1xt + b2xt2 + ut

例4.3（P141例3.6）

⑹ 生长曲线 (logistic) 模型

yt =

k1?ef(t)?ut (4.16)

一般f(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + … + an t n，常见形式为f(t) = a0 - a t

yt =

k1?e(a0?at)?uu=

k1?be?at?ut (4.17)

其中b = ea0。a > 0情形的图形分别见图4.13和4.14。美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为yt的生长上限

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