和下限。Limyt= k, Limyt= 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，坐标为（

t??t???Lnbk,），曲a2线的上下两部分对称于拐点。

图4.13 yt = k / (1 +be?at?ut

at?ut) 图4.14 yt = k / (1 +be)

为能运用最小二乘法估计参数a, b，必须事先估计出生曲线长上极限值k。线性化过程如下。当k给出时，作如下变换，

k/yt = 1 + be?at?ut

移项， k/yt - 1 = be?at?ut

取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut (4.18) 令yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则

yt* = b* - a t + ut (4.19) 此时可用最小二乘法估计b*和a。

图4.15 内地5月1日至28日每天非典数据一览

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⑺ 龚伯斯（Gompertz）曲线

英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲线的数学形式是，

?at?be yt =ke

图4.15 yt =ke?be

?at

曲线的上限和下限分别为k和0，Limyt= k, Limyt= 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，

t??t???坐标为（

Lnbk,），但曲线不对称于拐点。一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，ae龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。线性化过程如下：当k给定时，

?atyt / k = e?be，

?at k/yt = ebe

Ln (k/yt) = be?at， Ln[Ln(k/yt)] = Lnb - a t

令y*= Ln[Ln(k/yt)], b* = Lnb，则

y* = b* - a t

上式可用最小二乘法估计b* 和 a。 ⑻ Cobb-Douglas生产函数

下面介绍柯布?道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。其形式是

Q = k L? C 1- ? (4.24)

其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；0 < ? < 1。这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面的数据研究得出的。?的估计值是0.75，?的估计值是0.25。更习惯的表达形式是

??uyt =?0xt11xt22et (4.25)

这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计，但可先作线性化处理。上式两边同取对数，得：

Lnyt = Ln?0 + ?1 Lnxt 1 + ?2 Lnxt 2 + ut (4.26)

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取 yt* = Lnyt, ?0* = Ln ?0, xt 1* = Ln xt 1, xt 2* = Ln xt 2，有

yt*= ?0* +?1 xt 1* + ?2 xt 2* + ut (4.27)

上式为线性模型。用OLS法估计后，再返回到原模型。若回归参数 ?1 + ?2 = 1，称模型为规模报酬不变型（新古典增长理论）； ?1 + ?2 > 1，称模型为规模报酬递增型； ?1 + ?2 < 1，称模型为规模报酬递减型。

对于对数线性模型，Lny = Ln?0 + ?1 Lnxt1 + ?2 Lnxt2 + ut ，?1和?2称作弹性系数。以?1为例，

?1 =

?Lnyt?Lnxt1=

yt?1?ytxt1?1?xt1=

?yt/yt?xt1/xt1=

xt1?ytyt?xt1 (4.28)

可见弹性系数是两个变量的变化率的比。注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。

对于线性模型，yt = ?0 + ?1 xt1 + ?2 xt2 + ut ，?1和 ?2称作边际系数。以?1为例，

?1 =

?yt?xt1 (4.29)

通过比较(4.28)和(4.29)式，可知线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。 例4.1 （136P例3.4）略

4.2非线性化模型的处理方法

b2模型：y?a0?a1x1b1?a2x2无论通过什么变换都不可能实现线性化，对于这种模型

称为非线性化模型。可采用高斯—牛顿迭代法进行估计，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估计方法进行估计。

1、迭代估计法

思想是：通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估计值附近线性化，然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新的参数估计值。下一步是使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新的线性方程再应用OLS法，又得出一组新的参数估计值。不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止。其步骤如下。

1）对模型：y?f(x1,x2,

,xk,b1,b2,,bp)?u在给定的参数初始值b10,b20…bp0展

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开泰勒级数：

y?f(x1,x2,pp,xk,b10,b20,??f?,bpo)????(bi?bio)?bi?1?i?biop??2f1????2i?1j?1???bi?bjy?f(x1,x2,p?(bi?bio)(bj?bj0)?u???biobj0??f?,bpo)??bio???bi?1?i?biop2取前两项，便有线性近似：

,xk,b10,b20,pp??f??f?1??bi????????b?b?b2i?1i?1j?1?i?bio?ij?(bi?bio)(bj?bj0)?u???biobj0

??f?

2）将上式左端看成组新的因变量，将右端??看成一组新的自变量，这就已

??bi?bio

?,b?经成为标准线性模型，再对其就用OLS法，得出一组估计值b1121,?,b?3）重复第一、二步，在参数估计值b1121,?。 ,bp1?附近再做一次泰勒级数展开，得,bp1?。 ,bp2?,b?,到新的线性模型，应用OLS法，又得出一组参数估计值：b1222?,b?,4）如此反复，得出一组点序列b1j2j2、迭代估计法的EViews实现过程 1）设定代估参数的初始值，方法有两种： A、使用Param命令设定，

?(j?1,2,)直到其收敛为止。 ,bpj例如，Param 1 0.5 2 0 3 0 则将待估的三个参数的初始值设成了0.5，0，0. B、在工作文件窗口中双击序列C，并在序列窗口直接输入参数的初始值。 2）估计参数 A、命令方式

在命令窗口可以直接键入非线性模型的迭代估计命令NLS。格式为： NLS 被解释变量，=非线性函数表达式 例如，对于非线性回归模型y?aNLS y=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3)) B、菜单方式。

在数组窗口“procs→make epuation；

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x?b?u估计命令为 x?c