高考数学二轮复习微专题（文理通用）

多题一解之基本不等式篇

【知识储备】

1、基本不等式：ab≤a＋b

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(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0。 (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立。

a＋b

(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数。

2: 2、利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P。(简记：“积定和最小”)

S2

(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值。(简记：“和定

4积最大”)

3．常用的几个重要不等式

a＋b?2?(1)a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)； (2)ab≤

?2?(a，b∈R)。 a＋b?2a＋bba(3)?≤(a，b∈R)； (4)＋≥2(a，b同号)。

2ab?2?以上不等式等号成立的条件均为a＝b。 4、条件最值的求解通常有两种方法

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 【走进高考】

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【例】【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1，0)为抛物线y?2px(p?0)的焦点，过点F的直线交抛

物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记

2△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2．

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求

S1的最小值及此时点G的坐标． S23，此时G（2，0）． 2【答案】（1）p=2，准线方程为x=?1；（2）最小值为1?【解析】（1）由题意得

p?1，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=?1. 22（2）设A?xA,yA?,B?xB,yB?,C?xc,yc?，重心G?xG,yG?.令yA?2t,t?0，则xA?t.

22t?1t2?1y?1，代入y2?4x，得y2?由于直线AB过F，故直线AB方程为x?y?4?0， 2tt??故2tyB??4，即yB??211?12?，所以B?2,??.又由于xG??xA?xB?xc?,yG??yA?yB?yc?及

t?t33?t??1?2?1???2t4?2t2?2?2重心G在x轴上，故2t??yc?0，得C???t?,2??t??,G?,0?. 2??t??t???3tt???所以，直线AC方程为y?2t?2tx?t2，得Qt2?1,0.由于Q在焦点F的右侧，故t2?2.从而

????422t?2t?21?1?|2t||FG|?yA23tS122t4?t2t2?22.令m?t?2，则m>0， ???4?2?4422t?2t?22S21|QG|?yt?1t?1|t2?1?|?|?2t|c23t2tSS1m113.当m?3时，1取得最小值?2?2?2?…2??1?3S2S2m?4m?323m??42m??4mm

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1?3，此时G（2，0）． 2【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

【例】．【2019年高考天津卷文数】设x?0,y?0,x?2y?4，则

(x?1)(2y?1)的最小值为__________.

xy【答案】

9 2(x?1)(2y?1)2xy?2y?x?12xy?55???2?.因为x?0,y?0,x?2y?4， xyxyxyxy【解析】所以x?2y?4?2x?2y，即2xy?2,0?xy?2，当且仅当x?2y?2时取等号成立. 又因为2?(x?1)(2y?1)5199?2?5?=，所以的最小值为. xy22xy2【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

?x2?2ax?2a,x?1,【例】【2019年高考天津理数】已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式

x?alnx,x?1.?f(x)?0在R上恒成立，则a的取值范围为

A．0,1 C．0,e 【答案】C

??

B．0,2 D．1,e

??????x2【解析】当x?1时，f(1)?1?2a?2a?1?0恒成立；当x?1时，f(x)?x?2ax?2a?0?2a?x?12x2(1?x?1)2(1?x)2?2(1?x)?1x2 恒成立，令g(x)?，则g(x)??????1?x1?x1?xx?1

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