第4讲 几何证明选讲、不等式选讲

[考情考向分析] 1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定，属B级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求．

热点一 三角形相似的判定及应用

例1 (2018·徐州模拟)如图， AB是圆O的直径，弦BD, CA的延长线相交于点E, EF垂直

BA的延长线于点F.

求证： AB＝BE·BD－AE·AC.

证明 连结AD，BC，因为AB为圆O的直径，所以AD⊥BD，又EF⊥AB，则A，D，E，F四点共圆，

2

所以BD·BE＝BA·BF. 又△ABC∽△AEF，所以＝ABAC，即AB·AF＝AE·AC，

AEAF2

所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB.

思维升华 在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理．同时，要注意等量的代换．

跟踪演练1 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：

AC＝2AD.

1

证明 连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO＝∠ACB＝90°.

又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以＝

BCAC.

ODAD又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD. 热点二 圆有关定理、性质的应用

1

例2 (2018·江苏南京师大附中模拟)在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的角平分线，

2△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN＝2AM. 证明 如图，在△ABC中，因为CM是∠ACB的角平分线，

所以＝ACAM.

BCBM1AB2AM又AC＝AB，所以＝，①

2BCBM因为BA与BC是圆O过同一点B的弦， 所以BM·BA＝BN·BC，即＝2AMBN由①②可知，＝，

ABBN②

BCBMBMBM所以BN＝2AM.

思维升华 本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转化的数学思想．

跟踪演练2 (1)(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证： DB·DC＋OD＝OA.

2

2

2

证明 如图，延长AO交⊙O于点E，

则DB·DC＝DE·DA＝(OD＋OE)·(OA－OD). ∵OE＝OA，

∴DB·DC＝(OA＋OD)·(OA－OD)＝OA－OD.

2

2

∴DB·DC＋OD＝OA.

(2)(2018·江苏盐城中学模拟)如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB，AC分别交于点E，

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F.已知AD为∠BAC的平分线．

求证： EF∥BC. 证明 如图，连结ED.

因为圆与BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD. 因为AD平分∠BAC.所以∠BAD＝∠DAC. 又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF. 所以EF∥BC.

热点三 不等式的证明

1

例3 (1)(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，求

2证： 1－a＋cc(a＋2b)

≥2.

证明 ∵a, b, c为正实数，

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