《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习:第八篇 第6讲 空间向量及其运算 下载本文

高考数学 第6讲 空间向量及其运算

A级 基础演练

(时间:30分钟 满分:55分)

一、选择题(每小题5分,共20分) 1.在下列命题中:

①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;

②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面; ③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c,共面;

④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 A.0

B.1

( ).

C.2 D.3

解析 a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任两向量a,b都共面,故②错误;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A. 答案 A

2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=

( ).

A.-4 B.-2 C.4 D.2

解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), ∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2). ∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2. 答案 D

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3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( ). A.{a,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b}

B.{b,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}

解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底. 答案 C

4.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOBπ→→

=∠AOC=3,则cos〈OA,BC〉的值为 ( ). A.0 3

C.2

1B.2 2D.2

→→→

解析 设OA=a,OB=b,OC=c,

π

由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=3,且|b|=|c|,

11→→→→

OA·BC=a·(c-b)=a·c-a·b=2|a||c|-2|a||b|=0,∴cos〈OA,BC〉=0. 答案 A

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是________. →→→→→1→1→1→①OM=2OA-OB-OC;②OM=5OA+3OB+2OC; →→→→→→→

③MA+MB+MC=0;④OM+OA+OB+OC=0;

→→→→→→→→→

解析 ∵MA+MB+MC=0,∴MA=-MB-MC,则MA、MB、MC为共面向量,即M、A、B、C四点共面. 答案 ③

→→→→→→

6.在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=________.

→→→

解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c,

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→→→→→→AB·CD+AC·DB+AD·BC=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0. 答案 0

三、解答题(共25分)

→7.(12分)已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM1→→→=3(OA+OB+OC).

→→→

(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. →→→→

解 (1)由已知OA+OB+OC=3 OM, →→→→→→∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), →→→→→即MA=BM+CM=-MB-MC, →→→

∴MA,MB,MC共面.

→→→

(2)由(1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点M, ∴四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内. 8.(13分)如右图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1

中,G为△BC1D的重心, (1)试证:A1、G、C三点共线; (2)试证:A1C⊥平面BC1D; (3)求点C到平面BC1D的距离.

→→→→→→→

(1)证明 CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1, 1→→1→→→

可以证明:CG=3(CB+CD+CC1)=3CA1, →→

∴CG∥CA1,即A1、G、C三点共线.

→→→

(2)证明 设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a, 且a·b=b·c=c·a=0,

→→→→∵CA1=a+b+c,BC1=c-a,∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0,∴→→

CA1⊥BC1,即CA1⊥BC1,同理可证:CA1⊥BD,因此A1C⊥平面BC1D.

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