课题: §3.4基本不等式ab?第1课时
a?b 2授课类型：新授课 【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?【教学难点】 基本不等式ab?【教学过程】
a?b的证明过程； 2a?b等号成立条件 21.课题导入 基本不等式ab?a?b的几何背景： 2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系
2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2?b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a?b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a?b?2ab。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a?b?2ab。 2．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 a?b?2ab?(a?b)
当
22222222222a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,
2所以，(a?b)?0，即(a?b)?2ab.
224．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?a?b 2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab，
a?b(a>0,b>0) 2a?b 2）从不等式的性质推导基本不等式ab?
2通常我们把上式写作：ab?用分析法证明：
a?b?ab (1) 2只要证 a+b? (2) 要证（2），只要证 a+b- ?0 （3）
要证
要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式ab?2a?b的几何意义 2探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?何解释吗？
2
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为
a?b的几2a?ba?b，显然，它大于或等于CD，即?ab，其中当且仅当点C与圆22a?b几何意义是“半径不小于半弦” 2心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab?评述：1.如果把
a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那2a?b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节2么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称
定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)
yx?≥2； xy2
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(2)（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy.
分析：在运用定理：
a?b?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把2xy2233
＞0，＞0，x＞0，y＞0，x＞0，y＞0 yx握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴
(1)
xyxyxy??2?＝2即?≥2.
yxyxyx2
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(2)x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2x2y2＞0 x＋y≥2x3y3＞0 ∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2即（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥８xy.
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x2y2·2x3y3＝８x3y3
3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2ab＞0
a?b?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 2b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（何平均数（ab）及它们的关系（
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a?b），几2a?b≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b2都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：aba2?b2a?b2≤，ab≤（）.
225.评价设计 课本第113页习题[A]组的第1题 【板书设计】