2．2.3 双曲线的简单几何性质（共2课时）

一、教学目标

1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 二、教学重点、难点

重点：双曲线的几何性质及初步运用。 难点：双曲线的渐近线。 三、教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格

(三)渐近线

双曲线的范围在以直线y?bbx和y??x为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，aax2y2b双曲线2?2?1与直线y??x具有怎样的关系呢？

aba根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线y?双曲线在第一象限的部分可写成：

bx的关系。 a

当x逐渐增大时， |MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON． 在其他象限内也可以证明类似的情况．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字

母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精

再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解

x2y2??1的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 例1求双曲线

43分析：由双曲线的标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是

y??ax． b4，求双曲线的3练习P41 练习1

例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为标准方程。

x2y2??1共渐近线，且经过A23,?3点的双曲线的标准方及离例3求与双曲线

169??心率．

分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；