流体力学习题和解答

中国海洋大学海洋环境学院

流体力学教研室

习题一 场论和张量代数

1．证明 (n??)n?rot n?n,其中是大小相等方向可变的矢量。

2．证明n?[grad(a?n)?rot(a?n)]?diva，其中a是变矢量，n是单位常矢量。 3．用两种方法证明(??a)?b??(a??)b?a?rotb+rot a?b?adiv b。

4．.有一张量P，将其分解为对称的和反对称的两部分，并以?表示相当于反对称部分的

矢量。试证

u?(P?V)?V?(P?u)??2??(u?V)，

其中u及V为任意矢量。

5．.张量P为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a有下述恒等式成立：

a?(P?a)?0

习题二 流体运动描述

1． 流体质点绕oz轴以等角速度? 旋转， （1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场； （2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律； （3）试分析流场的流线和轨迹； （4）试求流体质点的加速度； （5）用极坐标解此题。

2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：V?V1(1?x/L)，试决定： （1）流场内任一质点的加速度

（2）给出 t=0时刻位于x=0 点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。 3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么?

24． 设流场为：u?xt，v?yt，w?0。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，

2并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。

5． 设流场为：u?ky，v?k(x??t)，w?0，其中k和? 均为常数。试求：t?0 时

经过点M?a,b,c?的流线及t=0时经过该处的流体质点的轨迹，最后考虑??0时的情形。

6． 考虑下述速度分量定义的二维流动：

u?A?Bt

v?C其中A、B、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。 7． 二维流场u?a,v?kyt，试决定其流线与轨迹。 8． 设流场的速度分布为：

u??kykx，v?，w?0， 2222x?yx?y其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。 9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下：

?vr?vsin??ucos? ?v?vcos??usin????u?vrcos??v?sin? ??v?vrsin??v?cos?10．

已知流体运动的速度大小和流线的方程分别为V?x2?y2和

x2?y2?constant，试求速度场两速度分量。

11．

已知二维流动：u?x,v??y，试求流线方程和通过点（2，3）的流线。

12． 一定常流管，其中心线上的流速在40cm的一段距离内由14m/s变为15m/s。若

变化是均匀的，求这段上起点和终点的对流加速度。 13． 14．

试导出在极坐标，柱坐标及球坐标系中之流线和轨迹的微分方程。

速度场为V?ayi?bj，其中，速度的单位为m/sec，y以米给出，a=2m/sec，

b=1m/sec，试决定场点（1，2，0）上的速度分量u，v，w，以及通过该点的流线的斜

率。 15．

在二维不定场流场内，同一时刻测的速度分量为：

x y u v 0 0 20 10 1 0 22 15 0 1 14 5

在x=0，y=0 点上，于不同时刻也进行了速度测量，测量结果为：

t u v

0 20 10

1/2 30 10 其中u、v 的单位为 m/sec，t 的单位为sec ，x、y的单位为 m，试求出 x=y=0点上分别沿x和y方向的平均加速度分量。

习题三 质量连续性方程

1． 试证明不可压缩流体作定常流动时，速度必沿等密度面进行，反之亦然 2． 已知某平面不可压流场的速度沿x 轴方向的分量为：u?ax?by

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