求沿y 轴方向速度分量v，已知y=0时，v=0 3． 某流场，以拉哥朗日变数表示为：

x?a?Rekbsin(ka??t)y?b?Recos(ka??t)kb

其中R,k,?为常数，a， b为拉哥朗日变数， 试证明此流场为不可压流场。 4． 流体在弯曲的细管中流动，试分别以拉哥朗日变数和欧拉变数给出连续方程式。 5． 设有一明渠，宽为 b(x)，水深为h(x，t)，x代表明渠任一界面的位置。如果认为同一截

面上速度相同，即v=v(x)，试求连续方程。

6． 在上题中，如果静止时h=h(x)（即渠底不平），由于外部扰动，使自由表面产生了一波

动，此时任一截面的水深可表为h?h?x????x,t?， 其中，??x,t?为波剖面。设流体为不可压流体，试证明此时连续方程为：

???(b?t)??0 ?tb?s7． 设?为一细流管的截面面积，试证明连续方程为：

?(??)?(???)??0 ?t?s8． 流体质点的运动对于某固定中心对称，求其连续方程。如流体为不可压，阐明此连续方

程的物理意义。

9．流体质点在通过oz轴的诸平面上运动，求连续方程式。

10．流体质点的轨迹为圆，且这些圆的圆心都位于某一固定轴上，试证明连续方程为：

???(??)??0 ?t??式中?为流体质点绕oz轴转动的角速度。

11．如果流体质点的轨迹位于共轴的圆柱面上，试求其连续方程式。 12．不可压流体在一平面内运动，在极坐标系下，已知：

vr??kcos? r2 其中k为常量，试给出速度的v?分量和速度的大小。 13．如果流体质点在一球面上运动，证明连续方程为：

????cos??(??cos?)?(?w'cos?)?0 ?t????此处?和?分别为纬度和经度，?和??分别为质点位置经度和纬度的变化率。 14．流体质点的运动位于轴线与z轴共轴并有共同顶点的圆锥面上，试求连续方程。 15．一脉冲在一均匀直管中传播，已知 ???0?(vt?x)，求质点的速度分布，设原点处

质点的速度为v0。

16．说明u?x,v?y是否为一不可压流动。假设一个不可压流动的速度x分量为u=x，那

么，其y分量v的函数形式是什么形式？

习题四 速度分析 有旋运动和无旋运动

1． 流速在平板附近的速度分布为：u?ky,v?0,w?0，试求流体微团的膨胀速度，和转

动角速度。

2． 在无旋流动中，t0时刻组成小球?????面，试证之。

3． 在匀变形情况下，位于同一平面上的质点永远位于同一平面上，位于同一直线上的质点

永远位于同一直线上，试证之。

4． 以A代表某个流动的变形速度张量，试证明剪切速度A12,A13和A23可分别被解释为由于

剪切变形引起的位于x-y， x-z和y-z三个坐标面上的正方形对角线的相对伸长速度。

222?R2的质点在dt时间后必然构成椭球

5． 流体运动时，流线为绕OZ轴之同心圆，角速度与离OZ轴距离的n次方成正比，求旋

度及流体的自转角速度。

6． 验证下列平面流动是否为不可压缩流动。并证明哪一个是有旋的，哪一个是无旋的，对

于无旋场给出速度势函数。

?u?ax2?bx3?u?ky?u?kx?u?kxa) ?， b) ?， c) ?， d) ?

?v?kx?v?ky?v??ky?v?ay?bsiny7． 一平面流场：u?x?y?x，v??2xy?y，证明其代表一不可压流场，并且是无

旋的，并试给出其速度势函数。 8． 给出下述有旋运动的速度场及涡线：

a) 流体与刚体一样具有角速度?绕OZ轴旋转； b) 流场：u?cy,v?c,w?c；

c) 流体质点的速度与质点到OX轴的距离成正比，并且与OX 轴平行。 9． 已知速度势?如下，试求对应的速度场、流体质点加速度及流线。

a)

22??xy；

x。

x2?y2b) ??10． 不可压流体在单连通区域内做无旋运动，试证明对于任何的封闭曲面s均有

???s?nds?0。

11．

之。

在不可压缩无旋流动中，流场内任一内点上，速度势?不可能取得极值，试证明

习题五 量纲分析和相似理论

1． 截面为半圆形的无限长直管中的不可压缩流体做层流运动，沿管轴方向某一长度l上的

压降为?p.由实验知?p/l与l无关，且不沿管轴位置而变，只与管中的平均速度U，管的半径a和流体粘度系数?有关.试由量纲分析理论推出通过管的体积流量Q如何随

a,?,?p和l变化.

2．.右图示水坝溢流，水的密度与粘度为?和?。试用量纲分析导出溢过单位宽度水坝的

体积流量Q与那些量有什么无量纲关系。又若已知来流速度为V?，求H/h与什么无量纲量有关。

H h

3．在很低雷诺数下, 绕某物体的流动服从下述Stokes方程组: ??V?0, ?p???V,

在物面

2zxy在无穷远处V?V?(沿x轴方向)。试用量纲分析论证：?f(,)上V?0，

LLL此物体所受阻力的大小F应该与特征尺寸L的几次方成正比？

4．用１：30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题。若实际潜艇水下航速为10knot，试确定

研究摩阻时，模型拖拽速度多大。

5．一模型港尺度比为280：1，设真实storm wave 振幅1.524m，波速9.144m/s，那么模