紧闭， CA=AB=h，截面积为单位面积。求刚打开开关时 (t=0) 及打开开关后(t>0 )压强之分布规律。

8．匀速地将水注入直立的圆柱形盆内，注入流量为 q=15cm3/s。盆底有一极小的孔，其截

面积为s=0.5cm2 ，问盆中水面保持多大的高度。

9．两个截面积相等的高度为C的封闭圆柱，将其放在同一水平面上，一管充满水，一管充

以空气。空气压强为p，与水柱h平衡（h＜c）。如果连通两管之底部（图5-3），设空气运动时是等温压缩的，求X最大值。

C

A

B

C

图5-2

x ?

图5-3

习题八 理想流体势流问题

1．已知速度势φ及流函数ψ：

（a）φ=

??θlnr ψ=－2?2?（b）φ=－2xy ψ=x2－y2 试写出复势 W=W(z) 的表达式。

2． 如果速度势???m2??lnr，求此流动之复势。

3． 对于二维可压缩流动，相应流函数存在的条件是定常运动，试证之。 4． 设W?Az，试证明质点的速度和加速度与到原点的距离成正比。 5． 求偶相对于某一直线的像。

6． 求偶相对于半径为a之圆的像，并证明其强度与原偶之强度的比为a2/Ｆ2，此处F为原

偶至圆中心的距离。 7． 试研究由复势：

21??W?mln?z?? （m＞0）

z??所确定的流动。源和汇在哪些点上？设z?re，求速度势及流函数，并证明可以将运动看作在坐标轴及半径为1的圆所围绕的象限之内；求通过连接z1?1和z2?0.5两点的线段的流体体积通量。

8． 如果z?1?i点有强度为m的源，在z=0点有同等强度的汇，求在 x，y 坐标轴所限

的象限内流体运动的复势以及极坐标系下的流线方程，并求在z=1点的速度值。 9． 平面边界附近有强度为m的源，求：

a) 边界上的速度分布及最大值点； b) 边界上的压强分布及压强最小值点；

c) 设边界为单位宽度且无限长，求源对边界的作用力。 10． 11． 12．

求圆柱外之源作用在圆柱上的力，取圆柱高为一个单位。 求圆柱外之偶作用在圆柱上的力，取圆柱高为一个单位。

设半径为a的圆外有一源m和汇(?m)，在极坐标系下，它们分别位于

i?(r1,0)和(r2,?)处，求流场的复势，并研究???且r1?r2的情况。

13．

均匀来流绕流圆柱的二维流动，设圆柱半径为a，无穷远处速度和压强分别为V?和

p0试求作用在??0到???/2之间的柱体上的作用力，式中??0指向上游。

14．

两个强度为m的源分别在(-a ，0) 和 (a，0)处，另有一个强度为2m的汇在原点，

?证明流线为：

?x2?y2??a2?x2?y2??xy?；

2再证明任意一点的速率为：

2ma2， V?r1r2r3其中r1、r2和r3分别为该点到两个源和汇的距离。 15．

设在(-a ，0) 和 (a，0)两点有强度均为m的源，在 (0，a)和(0，-a) 点有相同强

度的汇，证明过此四点的圆及两坐标轴皆为流线；进一步证明任一点的速率为

q?4ma2r?r8?a?2racos??84441/2。

16． 17．

半径为a的圆内有偏心涡，求复势，速度分布和流线。

两个同心的无穷长圆柱面之间充满均质不可压缩理想流体做无旋运动。外柱面

R?b不动，内柱面R?a以常速度U沿x轴做直线运动。现在欲求这一瞬时的流体

速度分布。试用(a)速度势(b)流函数和(c)复势分别给出问题的完整数学提法，但不必求解。 18．

设半径为a的无穷长的圆柱在无穷的理想不可压静止流体中沿x轴(与柱轴垂直的

方向)作不定常平动，速度为u(t)，求流体对圆柱的惯性阻力，并写出该圆柱体的运动微分方程。 19．

半径为a和b的两球面间充满密度为?的理想不可压缩流体(b?a)。设外球面静

止，内球面沿x轴以速度U(t)平移，某一瞬时恰好两球面同心。若流体运动无旋，试求流场所含动能。

习题九 粘性流体的运动

1． 粘性系数为?的流体沿水平圆截面管子做定常流动，设速度为q，压强梯度为p，

（1） 证明，

??qpr(r)?? ?r?r? 式中，r是流体质点到管子中心轴线的距离。

（2） 给出通过管子的体积流量。

2． 粘性流体在两共轴圆柱面之间的区域内作平行于轴线的定常运动，两共轴圆柱面的半径

分别为a和na(n?1)。证明流量为：

2??pa4?4n2?1???n?1?? 8??lnn???式中，p为压强梯度；求平均速度。

3． 讨论两无限长水平平行平板间的定常层流运动。如其中一平板固定另一平板以速度U在

其所在平面内等速平移运动，求作用在上下平板上的摩擦应力。

4． 把上题的平行平板倾斜放置，与水平成α角，运动情况如何？如设下平板固定，上平板

平移的速度为何值时可使作用在下平板上的摩擦应力为零？分别就在水平方向上有无压强差两种情况进行讨论。