11mgl?(ml2)?
233g∴ ??
2l(2)由机械能守恒定律，有
l11mgsin??(ml2)?2
2233gsin? l∴ ??
3.15 如题3.15图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度?? 30°处． (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v0的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量?
题3.15图
解: (1)设小球的初速度为v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为
v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可
列式：
mv0l?I??mvl ①
121212mv0?I??mv ② 222上两式中I?12Ml，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直3o位置上摆到最大角度??30，按机械能守恒定律可列式：
12lI??Mg(1?cos30?) ③ 22由③式得
1212?3g3??Mgl????(1?cos30?)???(1?)?
Il2????由①式
v?v0?由②式
I? ④ mlI?2 ⑤ v?v?m220所以
(v0?求得
I?2I2)?v0??2 mlmv0??(2)相碰时小球受到的冲量为
l?Il1M(1?2)?(1?)?2ml23m6(2?3)gl3m?M12m
?Fdt??(mv)?mv?mv由①式求得
0
?Fdt?mv?mv0????I?1??Ml? l36(2?3)glM
6负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
3.16 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮 (可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题3.16图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上． (1)问它能升高多少?
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
题3.16图
解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度
v0?R?
设碎片上升高度h时的速度为v，则有
2v2?v0?2gh
令v?0，可求出上升最大高度为
2v0122H??R?
2g2g(2)圆盘的转动惯量I?11MR2，碎片抛出后圆盘的转动惯量I??MR2?mR2，碎片脱22离前，盘的角动量为I?，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系
统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即
I??I????mv0R
式中??为破盘的角速度．于是
11MR2??(MR2?mR2)???mv0R 2211(MR2?mR2)??(MR2?mR2)?? 22得???? (角速度不变)
圆盘余下部分的角动量为
1(MR2?mR2)? 2转动动能为Ek?11(MR2?mR2)?2 22
3.17 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题3.17图所示方向)． (1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
(2)用m,m0和? 表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．
题3.17图
解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒
Rsin?m0v0?(m?m0)R2?
∴ ??m0v0sin?
(m?m0)Rmvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2?(2) ??1Ek0m?m02m0v02
-1
3.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N·m；定滑轮的
2
转动惯量是0.5kg·m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
题3.18图
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
121212mv?I??kh 222又 ??v/R
mgh?(2mgh?kh2)R2故有 v?
mR2?I(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32? 6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1