专题07 平面解析几何（选择题、填空题）

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B

两点．若|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为

x2?y2?1 A．2

x2y2??1 B．32x2y2??1 D．54x2y2??1 C．43【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．

4n2?9n2?9n21在△AF1B中，由余弦定理推论得cos?F1AB??．

2?2n?3n3在△AF1F2中，由余弦定理得4n?4n?2?2n?2n?2213?4，解得n?． 32x2y2?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，故选B．

32222

法二：由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．

?4n2?4?2?2n?2?cos?AF2F1?4n2在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得?2， 2n?4?2?n?2?cos?BFF?9n21?又?AF2F1,?BF2F1互补，?cos?AF2F1?cos?BF2F1?0，两式消去cos?AF2F1,cos?BF2F1，得

3n2?6?11n2，解得n?3．?2a?4n?23,?a?3,?b2?a2?c2?3?1?2,?所求椭圆方2x2y2程为??1，故选B．

32【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆A．2 C．4 【答案】D

2

x23p?y2p?1的一个焦点，则p=

B．3 D．8

x2y2p??1的一个焦点，所以【解析】因为抛物线y?2px(p?0)的焦点(,0)是椭圆

3pp22p3p?p?()2，解得p?8，故选D．

2【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如p?2时，2，0）抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±，排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．

x2y23．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，O为坐标原点，以

abOF为直径的圆与圆x2?y2?a2交于P，Q两点．若PQ?OF，则C的离心率为

A．2 C．2 【答案】A

【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ?x轴， 又

B．3 D．5

cPQ?|OF|?c，?|PA|?,?PA为以OF为直径的圆的半径，

2c?cc?，?P?,?， 2?22?∴|OA|?

c2c2c2c2222又P点在圆x?y?a上，???a，即?a,?e?2?2．

2a44222?e?2，故选A．

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．

x2y24．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：?=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为

42坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为

A．

32 4 B．

32 2C．22 【答案】A

D．32 【解析】由a?2,b?2,c?a2?b2?6,PO?PF,?xP?6， 2又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y?bb263x上，则yP??xP?， ??aa222?S△PFO?11332，故选A． OF?yP??6??2224