1

∠ADE＝∠A′DE＝∠ADC＝45°，AE＝EG，BC＝CH，∴∠AED＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，

2∴AE＝AD＝BC，∴EG＝CH；

(2)解：由折叠的性质可得∠FGE＝∠A＝90°，GF＝AF＝2. 由(1)可知∠ADE＝45°，

∴∠DFG＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE， ∴DG＝GF＝2，∴DF＝DG2＋FG2＝2， ∴AD＝AF＋DF＝2＋2.

由折叠的性质可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC， ∴∠AEF＋∠BEC＝90°. 又∵∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠BEC＝∠AFE. 由(1)可知AE＝AD＝BC. 在△AEF与△BCE中，

?∠AFE＝∠BEC，?∠A＝∠B＝90°， ?AE＝BC，

∴△AEF≌△BCE(AAS)， ∴AF＝BE，

∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝22＋2. 三、解题技巧专题：中点问题答案

1．B 解析：连接AH，CH.∵∠BCD＝∠BAD＝90°，点H是BD的中点，∴∵点G是AC的中点，∴HG⊥AC，∴∠HGE＝90°.又∵∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠故选B.

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AH＝CH＝1

2BD.

GHE＝10°.

2．3 解析：如图，连接AF.∵AD＝AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD.又∵E是AC的中点，11

∴EF＝AC＝×6＝3.

22

1

3．45° 解析：如图，连接CM.∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB.∵CE＝CF21

＝AB，∴CE＝CF＝MC，∴∠1＝∠E，∠2＝∠F.∵∠1＋∠E＝∠4，∠2＋∠F＝∠3，∴∠1＝21111

∠4，∠2＝∠3，∴∠1＋∠2＝(∠4＋∠3)＝×90°＝45°，即∠EMF＝45°. 2222

4．D 5.B

6．解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC.∵E是AB的中点，

F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.同理可得HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；

(2)如图，连接BD.①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．证明如下：由(1)可知四边形

1

212

EFGH是平行四边形，HG＝AC.∵F是BC的中点，G是CD的中点，∴FG＝BD.∵AC＝BD，∴HG＝FG，∴四边形EFGH是菱形；

②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，

1212

HG∥AC.∵AC⊥BD，∴HG⊥BD.∵F是BC的中点，G是CD的中点，∴FG∥BD，∴HG⊥GF，∴∠

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HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形．

四、难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题答案

1．C

2．B 解析：如图，设BE与AC的交点为P′，连接BD，P′D.∵点B与点D关于AC对称，∴P′D＝P′B，即P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE.当点P位于点P′时，PD＋PE最小．∵正方形的面积为12，∴AB＝23.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，即PD＋PE最小值为23.故选B.

3.3

4．4.8 解析：如图，连接PA.∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF11

是矩形，∴AP＝EF.当EF最小时，PA也最小，∴当AP⊥CB时，PA最小，∴AB·AC＝BC·AP，

22即AP＝

AB·AC6×8

＝＝4.8，∴线段EF的最小值为4.8. BC10

5．A 解析：当P在BC上运动时，y随x的增大而增大，根据图象得BC＝4.当P在CD11

上运动时，y的值不变，∴CD＝9－4＝5，∴AB＝5，∴S△ABC＝AB·BC＝×5×4＝10.故选A.

22

6．1 解析：易证四边形AMDN是平行四边形，当MN＝AD，即AE＝EM时，四边形AMDN是矩形．∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴AE＝1.又∵∠DAB＝60°，∴△AEM为等边三

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角形，∴AM＝1，即当AM为1时，四边形AMDN是矩形．

7．C 解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形BNOM＝S△BOC，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.

8．(1)证明：如图①，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA＝

OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；

(2)解：①如图②，在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：

11

a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′

22

O＝30°，∴∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；

b．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠AOG′＝60°，∴

α＝90°＋∠AOG′＝150°.

综上所述，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°； ②AF′长的最大值是2＋

2

，此时α＝315°. 2

1

9．(1)证明：如图①，连接BD.∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD.

21

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴中点四边形

2

EFGH是平行四边形；

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