定理4 如果A为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意x,雅可比迭代法(4)与高斯—塞德尔迭代法(8)均为收敛的.

证明 下面我们以A为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛，其他证明留给读者.

要证明雅可比迭代法收敛，只要证用反证法,设矩阵

?0???B1??1,B1是迭代矩阵.

B1有某个特征值?,使得??1,则det??I?B1??0,由于A不可约,

?1且具有弱对角优势，所以D存在，且 从而

?I?B1??I??I?D?1A??D?1??D?A?D?

??D?A?D??0

另一方面，矩阵??D?A?D?与矩阵A的非零元素的位置是完全相同的，所以??D?A?D?也是不可约的,又由于??1,且A弱对角优势，所以

det?aii?aii??aij,j?ij?ini?1,2,...n并且至少有一个i使不等号严格成立.因此,矩阵

??D?A?D?弱对角优势，故

??D?A?D?为不可约弱对角优势矩阵.从而

det??D?A?D??0

矛盾，故

B1的特征值不能大于等于1，定理得证.