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《高等代数选讲》期末考 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 D 2 A 3 A 4 C 5 D ?A?1,?1,2； ?B?2,?2,4； ?C?1,?1,0； ?D?1,?1, 二、 填空题（共20分） 31012222003400? 16 。 241。 2 1133214? 2 ；421．设A,B是n阶方阵，k是一正整数，则必有（D） (A) (AB)?AB； (B)kkk?A??A； (C)A2?B2?(A?B)(A?B)； (D) AB?BA。 1．（6分）计算行列式222从而错误!未找到引用源。， 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 因此
该等比数列前n+1项的和为： 2．设A为m?n矩阵，B为n?m矩阵，则（A）。 (A)(C)若m?n，则AB?0； (B) 若m?n，则AB?0； 若m?n，则AB?0； (D)nn44411321452．（4分）设D?33322，则A21?A22?A23? 0 ；若m?n，则AB?0； A24?A25? 0 。 2354245613 3．R中下列子集是R的子空间的为（A）． ?11?1??221????40?2?，求X 022四．已知矩阵X满足X???????1?10????066???A?W1??[a1,0,L,0,an]a1,an?R3?n??3W2??[a1,a2,L,an]ai?R,i?1,2,L,n,?ai?1?； i?1??n??3， W3??[a1,a2,L,an]ai?R,i?1,2,L,n,?ai?1?；i?1?? ?100??123??100???456??001?? 错误!未找0?103．（3分）计算?????????001????789????010???B??C??D?到引用源。 。 4．（4分）若(x?1)2|ax4?bx2?1，则a? 1 ；b? -2 。 5．（3分）当?满足 错误!未找到引用源。 时，方程组??x?y?z?0??x??y?z?0有唯一解。 ?x?y??z?0?W4??[1,a2,L,an]ai?R,i?2,3,L,n? 3解： 设A=错误!未找到引用源。，B=错误!未找到引用源。 计算得错误!未找到引用源。，可知矩阵A可逆 则错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 4．3元非齐次线性方程组Ax?b，秩r(A)?2，有3个解向量?1,?2,?3， ?2??3?(1,0,0)T，a1??2?(2,4,6)T，则Ax?b的一般解形式为（C）. （A）(2,4,6)T?k1(1,0,0)T，k1为任意常数 （B） (1,2,3)?k1(1,0,0)，k1为任意常数 （C）(1,0,0)?k1(2,4,6) ，k1为任意常数 （D） (1,0,0)T?k1(1,2,3)T，k1为任意常数 5．已知矩阵A的特征值为1,?1,2，则A的特征值为（D） ?1 310L00231L000L00002L3LLL00LL 五．（10分）利用综合除法将f(x)?x4表示成x?1的方幂和的形式。 解：使用综合除法 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 TT三．（10分）计算n阶行列式：Dn?TT00 LL3123解： ▆ 《高等代数选讲》 试卷 共2页（第1页） 选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆
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1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 4 1 3 6 1 1 3 6 1 1 4 ?px1?x2?x3?六．（15分）试就p,t讨论线性方程组?2x1?3tx2?2x3?x?2tx?x23?1?4?7解的情?4令错误!未找到引用源。，得A的特征值为5，-1，-1 将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。中得基础解系为错误!未找到引用源。，其对应的全部特征向量为错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。为任意非零常数。 将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。中得基础解系为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，其对应的全部特征向量为错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为不全为零的常数 2. 使用施密特正交化法： 况，并在有无穷多解时求其通解。 解：设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，对错误!未找到引用源。进行初等行变换： 将其单位化，得： 若该非其次线性方程组有无穷多解，需要满足错误!未找到引用源。 增广矩阵第一行元素不全为零 增广矩阵第二行元素不全为零 而增广矩阵第三行元素应全为零，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 X2=2 X1=2-X3 令X3=k，则通解为错误!未找到引用源。 ?122??， 212七．（15分）设矩阵A??????221?? 1． 求矩阵A的所有特征值与特征向量； 2． 求正交矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵。 解： 1. 错误!未找到引用源。 ▆ 《高等代数选讲》 试卷 共2页（第2页） 选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆