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图5-12 互补型偏好下价格变化的影响
（5）因为戴维仅按固定的比例使用花生酱和果冻，而且面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格ps?2px?py来购买三明治。
在（1）问中，ps?0.20，花生酱—果冻三明治的数量为：qs?15； 在（2）问中，ps?0.25，花生酱—果冻三明治的数量为：qs?12。 一般而言，花生酱—果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：qs?3，是一条双曲线。 ps（6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。
3．如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即MRS取决于y/x的点，那么效用函数是位似的。
（1）证明：在这种情况下，?x/?I是常数。
（2）证明：如果个人偏好可以用位似的无差异曲线图来表示，则价格与数量必定按相反方向变化，即不会产生吉芬悖论。
证明：（1）随着收入的增加，px/py的比值保持不变，效用最大化条件要求MRS?px/py也保持不变。而MRS取决于y/x，从而y/x也必须保持不变。又因为收入仅用于购买x和y，所以x和y都与收入成比例，即有?x/?I是常数。
（2）由（1）可知，
?x?y?0，?0，这说明x，y两种商品都是正常物品，而吉芬品?I?I为劣等品，所以吉芬悖论不成立。
4．假设效用由下式给出：
U?x,y??x0.3?y0.7
（1）用非补偿需求函数计算间接效用函数与支出函数。
（2）用（1）中计算出的支出函数与Shephard引理计算x的补偿需求函数。
（3）用（2）中得出的结论与x商品的非补偿需求函数证明本题符合斯勒茨基方程式。 解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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x?0.3I/px，y?0.7I/py
从而可得间接效用函数为：
0.30.70.30.7U?0.30.3?0.70.7I/pxpy?BI/pxpy
其中，B?0.30.3?0.70.7。
0.30.7根据对偶性质，支出函数为：E?B?1?U?pxpy。
?0.7（2）利用Shephard引理可知，补偿需求函数为：xc??E/?px?0.3B?1Upx?p0.7y。
（3）因为：ex,p??1，ex,I?1，ex,p??0.7，sx?0.3，所以可得：
xcxex,px?exc,p?sxex,I??0.7?0.3?1??1
x故本题符合斯勒茨基方程式。
5．假设x与y商品的效用函数为：
U?x,y??xy?y
（1）计算x与y的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述I或其他商品的价格变化怎样使x与y的需求曲线发生变化。
（2）计算x与y的支出函数。
（3）用（2）中计算出的支出函数计算x与y商品的补偿需求函数。描述当收入或其他商品价格发生变化时，x与y的补偿需求函数将如何发生变化。
解：（1）效用最大化问题为：
maxU?x,y??xy?ys..tpxx?pyy?I
设拉格朗日函数为：
L?xy?y???I?pxx?pyy?
一阶条件为：
?L?y??px?0?x?L?x?1??py?0 ?y?L?I?pxx?pyy?0??从而可以解得马歇尔需求函数为：
x?I?px 2pxy?I?px 2py985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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因此，py的变化不影响x，而px的变化影响y。收入I的增加将使x与y的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。
?I?px?； （2）将x与y的需求函数代入效用函数，可得间接效用函数为：U?4pxpy2从而可以解得支出函数为：E?4pxpyU?px。 （3）补偿需求函数为：
xc??E/?px?pyUpxpyUpxUpxpyU?1
yc??E/?py?
而非补偿需求不依赖于py。收入的变化对补偿需求没有影响。 x的补偿需求依赖于py，
6．需求理论中的许多经验研究工作主要集中于收入份额。对于任何商品x，其收入份额定义为：sx?得。
（1）证明：某商品的预算份额关于收入的弹性?es??x,Ipxx。在本问题中，我们将证明大多数需求弹性可以从相应的份额弹性中求I??sxI???等于ex,I?1。请用一些数?Isx?值例子来解释这一结论。
（2）证明：某商品的预算份额关于其自身价格的弹性esx,px??sxpx?等于ex,px?1。请用?pxsx一些数值例子来解释这一结论。
（3）利用你在（2）中所得的结论证明：商品x关于自身价格的支出弹性
ex?px,px???px?x?1?等于ex,px?1。 ?pxx??sp?（4）证明：某商品的预算份额关于其他商品价格的弹性?es,p?x?y?等于ex,p。
??pysx???xyy（5）在第4章的扩展部分，我们已经证明了对于CES效用函数而言，商品x的支出份
1?额为sx?，其中k??1??。 k?k1?pypx??1利用此方程来证明方程：exc,p???1?sx??。
x提示：此问题可以通过假定px?py，从而sx?0.5来简化。
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esx,I
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证明：（1）由商品收入份额函数sx?pxx，可得： I?pxx/IIpx?x/?I?pxxI2I?????ex,I?1
?Ipxx/IpxxI2x故如果ex,I?1.5，则es,I?0.5。 （2）由商品收入份额函数sx?esx,pxpxx，可得： I??pxx/I?pxp?x/?px?xI???x??ex,px?1
?pxpxx/IIxx如果ex,p??0.75，则es,p?0.25。
xx（3）因为在（2）中收入在求导时可以被消去，所以有：ep（4）由商品收入份额函数sx?esx,py?xx,px?ex,px?1。
pxx，可得： I?pypxx/I?px?x/?pypyI?xpy????ex,py Ipxx?pyx??pxx/I??py（5）由（2）可得：
esx,px?k?k?1kpypx?1?pkyp?k2x??px?1?ppky?kx??1?pk?kkpypxky?kpx
k?k为了简化，令d?pypx，从而有：ex,px?esx,px?1?kdkd?1?d。 ?1?1?d1?d再利用斯拉茨基方程，以及ex,I?1，可得：
exc,p?ex,px?sx?xd?k?1?kd?d?11?????1?sx?? 1?d1?d1?d
7．假定某人将汉堡包和奶酪视为完全互补品：他（或她）总是用一片汉堡包和一片奶酪做成一个汉堡包—奶酪三明治。同时假定此人仅购买汉堡包和奶酪这两种商品，且面包是免费的。证明：
（1）如果汉堡包的价格等于奶酪的价格，则汉堡包需求的自身价格弹性是-0.5；汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性也是-0.5。
（2）解释为什么（1）中的结果仅反映收入效应，而不是替代效应。此问题中的补偿价格弹性是多少？
（3）利用（2）中的结果说明：如果一片汉堡包的价格是一片奶酪价格的两倍，则（1）问的答案将如何改变？
（4）解释此问题可以通过假定此人仅消费一种商品——汉堡包—奶酪三明治来求解。 解：（1）汉堡包的消费量用h表示，奶酪的消费量用c表示，因为汉堡包和奶酪是按照固定比例消费的，所以效用函数为：min?h,c?，因而汉堡包的需求为：
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h?I/?ph?pc?
其中，I为收入，ph，pc分别为汉堡包和奶酪的价格。 汉堡包需求的自身价格弹性为：
eh,ph?ph?ph?pc??ph?hph?I???? ?phh?ph?pc?2Ip?p?hc?汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性为：
eh,pc??pc
?ph?pc?所以，当ph?pc时，eh,p?eh,p??0.5。
hc（2）在固定比例效用函数下，不存在替代效应。补偿价格弹性为0，由斯勒茨基方程可知：ex,p?0?sx??0.5。
x21（3）当ph?2pc时，由（1）可知：eh,pc??，eh,pc??。
33（4）如果此人仅消费汉堡包—奶酪三明治，则它们的需求的价格弹性为-1。该复合商
品的价格弹性反映了整个三明治价格变化时汉堡包和奶酪的价格之间将成比例变化。例如，在（1）问中，汉堡包价格上涨10%，将导致三明治的价格上涨5%，从而导致需求数量下降5%。
8．证明：
（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下（??1），商品x和y之间的价格弹性之间的关系为：ex,p?ey,p??2。
xy（2）如果??1，则ex,p?ey,p??2；如果??1，则ex,p?ey,p??2。对此结论提供一
xxxy个直观的解释。
（3）你如何将此结论推广到更多商品的情形？讨论这样的推广是否极其有意义。 答：（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下，价格弹性分别为：
ex,px???1?sx???sx ey,py??sx??sy
从而有：ex,p?ey,p????1??2。
xy（2）本题所欲证的结论可以由（1）问中的结论直接得到。直观上，当?大时，价格弹性将大；当?小时，价格弹性将小。
（3）对于多变量CES函数而言，该结论的推广是可行的，但是该函数对行为施加的约束却有可能不成立。
9．假定存在n种商品，商品i的收入份额为si。同时，我们定义如下弹性： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解