三角形中的常用辅助线方法总结 下载本文

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°, ∴∠BAD+∠DCF=180°, 即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析:与1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们成为邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。

证明:过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS), ∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°。 ∴∠BAP+∠BCP=180°

3、分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC。

证明:方法一(补短法)

延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED,如图3-2

∴△AFD≌△ACD(SAS), ∴DF=DC,∠AFD=∠ACD。 又∵∠ACB=2∠B, ∴∠FDB=∠B, ∴FD=FB。

∵AB=AF+FB=AC+FD, ∴AB=AC+CD。

4、证明:(方法一)

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N, 在△AMN中,AM+AN>MD+DE+NE; ① 在△BDM中,MB+MD>BD; ② 在△CEN中,CN+NE>CE; ③ 由①+②+③得:

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC (方法二:图4-2)

延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF、△GFC和△GDE中有: AB+AF>BD+DG+GF ① GF+FC>GE+CE ② DG+GE>DE ③ 由①+②+③得:

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析:要证AB+AC>2AD,由图想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有

AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去

∴△ACD≌△EBD(SAS)

∴BE=CA(全等三角形对应边相等)

∵在△ABE中有:AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边) ∴AB+AC>2AD。

6、分析:欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等,显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这两条线段转移到同一个三角形中,只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段,所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC为基础三角形,转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH中

方法一:延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,证明△ADC和△HDB全等,得AC=BH。

通过证明∠H=∠BFH,得到BF=BH。