2018年湖北省武汉市中考数学试卷(含答案解析版) 下载本文

∴AB⊥BC,

∵PA、PB都是切线, ∴PA=PB,∠APO=∠BPO, ∵OA=OB,

∴OP垂直平分线段AB, ∴OK∥BC, ∵AO=OC, ∴AK=BK,

∴BC=2OK,设OK=a,则BC=2a, ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠OPB, ∴∠OPC=∠BPC=∠PCB, ∴BC=PB=PA=2a, ∵△PAK∽△POA, ∴PA2=PK?PO,设PK=x, 则有:x2+ax﹣4a2=0,

解得x=a(负根已经舍弃),

∴PK=a,

∵PK∥BC, ∴==.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.

22.(10分)(2018?武汉)已知点A(a,m)在双曲线y=上且m<0,过点A

第21页(共30页)

作x轴的垂线,垂足为B.

(1)如图1,当a=﹣2时,P(t,0)是x轴上的动点,将点B绕点P顺时针旋转90°至点C,

①若t=1,直接写出点C的坐标;

②若双曲线y=经过点C,求t的值.

(2)如图2,将图1中的双曲线y=(x>0)沿y轴折叠得到双曲线y=﹣(x

<0),将线段OA绕点O旋转,点A刚好落在双曲线y=﹣(x<0)上的点D(d,

n)处,求m和n的数量关系.

【考点】GB:反比例函数综合题. 【专题】153:代数几何综合题.

【分析】(1)①如图1﹣1中,求出PB、PC的长即可解决问题;

②图1﹣2中,由题意C(t,t+2),理由待定系数法,把问题转化为方程解决即可;

(2)分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时,A(a,m),D(d,n),可得m+n=0.

②当点A绕点O旋转90°时,得到D′,D′在y=﹣上,作D′H⊥y轴,则△ABO≌

△D′HO,推出OB=OH,AB=D′H,由A(a,m),推出D′(m,﹣a),即D′(m,n),由D′在y=﹣上,可得mn=﹣8;

【解答】解:(1)①如图1﹣1中,

第22页(共30页)

由题意:B(﹣2,0),P(1,0),PB=PC=3, ∴C(1,3).

②图1﹣2中,由题意C(t,t+2),

∵点C在y=上,

∴t(t+2)=8, ∴t=﹣4 或2,

(2)如图2中,

①当点A与点D关于x轴对称时,A(a,m),D(d,n), ∴m+n=0.

②当点A绕点O旋转90°时,得到D′,D′在y=﹣上,

第23页(共30页)

作D′H⊥y轴,则△ABO≌△D′HO, ∴OB=OH,AB=D′H, ∵A(a,m),

∴D′(m,﹣a),即D′(m,n),

∵D′在y=﹣上,

∴mn=﹣8,

综上所述,满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8.

【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.

23.(10分)(2018?武汉)在△ABC中,∠ABC=90°.

(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN;

(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=,求tanC的值;

(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=, ,直

接写出tan∠CEB的值.

【考点】SO:相似形综合题. 【专题】15 :综合题.

【分析】(1)利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN,即可得出结论;

(2)先判断出△ABP∽△PQF,得出 =,再判断出△ABP∽△CQF,

得出CQ=2a,进而建立方程用b表示出a,即可得出结论;

第24页(共30页)