热力学与统计物理课后习题答案第一章 下载本文

量为,代入式(6)得

(7)

式(7)表明,每升高1km,温度降低10K。 这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素,实际每升高1km,大气温度降低6K左右。

假设理想气体的是温度的函数,试求在准静态绝热过程中的关系,该关系式中要用到一个函数,其表达式为

解:根据式(1.8.1),理想气体在准静态绝热过程中满足

(1)

用物态方程除上式,第一项用除,第二项用除,可得

(2)

利用式(1.7.8)和(),

可将式(2)改定为

(3)

将上式积分,如果是温度的函数,定义

(4)

可得

(常量), (5)

(常量)。 (6)

式(6)给出当是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中T和

V的关系。

利用上题的结果证明:当为温度的函数时,理想气体卡诺循环的效率仍为

解:在是温度的函数的情形下,§就理想气体卡诺循环得到的式(1.9.4)—()仍然成立,即仍有

(1) (2)

(3)

根据题式(6),对于§中的准静态绝热过程(二)和(四),有

(4) (5)

从这两个方程消去和,得

(6)

(7)

所以在是温度的函数的情形下,理想气体卡诺循环的效率仍为

(8)

试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

解:假设在图中两条绝热线交于点,如图所示。设想一等温线与

两条绝热线分别交于点和点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样的等温线总是存在的),则在循环过程中,系统在等温过程中从外界吸取热量,而在循环过程中对外做功,其数值等于三条线所围面积(正值)。循环过程完成后,系统回到原来的状态。根据热力学第一定律,有

这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,

这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。

热机在循环中与多个热源交换热量,在热机从其中吸收热量的热源中,热源的最高温度为,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度

为,试根据克氏不等式证明,热机的效率不超过

解:根据克劳修斯不等式(式(1.13.4)),有

(1)

式中是热机从温度为的热源吸取的热量(吸热为正,放热为负)。 将热量重新定义,可将式(1)改写为

(2)

式中是热机从热源吸取的热量,是热机在热源放出的热量,,恒正。 将式(2)改写为

(3)

假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度为,必有

故由式(3)得

(4)

定义为热机在过程中吸取的总热量,为热机放出的总热量,则式(4)可表为

(5)

(6)

根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为

热机的效率为

(7)

理想气体分别经等压过程和等容过程,温度由升至。 假设是常数,试证明前者的熵增加值为后者的倍。

解:根据式(1.15.8),理想气体的熵函数可表达为

(1)

在等压过程中温度由升到时,熵增加值为

(2)

根据式(1.15.8),理想气体的熵函数也可表达为

(3)

在等容过程中温度由升到时,熵增加值为

(4)

所以

(5)

温度为的1kg水与温度为的恒温热源接触后,水温达到。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变,应如何使水温从升至?已知水的比热容为

解:的水与温度为的恒温热源接触后水温升为,这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变,可以设想一个可逆过程,它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化,通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。

为求水的熵变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,其温度分布在与之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由升至。在这可逆过程中,水的熵变为

(1)

水从升温至所吸收的总热量为

为求热源的熵变,可令热源向温度为的另一热源放出热量。在这可逆过程中,热源的熵变为

(2)

由于热源的变化相同,式(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为

(3)

为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变,应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热。水的熵变仍由式(1)给出。这一系列热源的熵变之和为

(4)

参与过程的整个系统的总熵变为

(5)

10A的电流通过一个的电阻器,历时1s。

(a)若电阻器保持为室温,试求电阻器的熵增加值。 (b)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为,电阻器的质量为10g,比热容为 问电阻器的熵增加值为多少?

解:(a)以为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。

(b)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为,所以有

电阻器的熵变可参照§例二的方法求出,为

均匀杆的温度一端为,另一端为,试计算达到均匀温度后的熵增。

解:以L表示杆的长度。杆的初始状态是端温度为,端温度为,温度梯度为(设)。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过