图9

12．一质量为m＝2kg的小球从光滑的斜面上高h＝3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接 着一个半径R＝1m的光滑圆环，如图9所示，求： (1)小球滑到圆环顶点时对圆环的压力；

(2)小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？(g取10m/s2)

第7节 动能和动能定理

课前预习练

1

1．Ek＝mv2 标 焦耳

2

2．相同 不一定相同

3．动能的变化 Ek2－Ek1 代数和 增加 4．直线 曲线 恒力 变力

5．A [物体所受合力为零，则合力做功为零，物体的动能变化为零．但如果物体所受合力不为零，合力对物体做功也可能为零，动能变化为零，如匀速圆周运动．故A正确．] 6．D [速度是矢量，而动能是标量，若物体速度只改变方向，不改变大小，则动能不

1

变，A错；由Ek＝mv2知B错；动能定理W＝Ek2－Ek1表示动能的变化可用合力做的功来

2量度，但功和能是两个不同的概念，有着本质的区别，故C错，D正确．]

课堂探究练

1

1．ABC [物体由于运动而具有的能叫动能，故A对；由Ek＝mv2知，B对；由于速

2度是矢量，当速度大小不变、方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度大小一定改变，故C对；做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，故D错．]

1

2．CD [由动能的表达式Ek＝mv2知A、B错误，C正确．动能是标量，D正确．]

2

3．D

4．C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，合外力不为零，A错．速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与阻力做的功代数和为零，但重力和阻力的合力不为零，C对，B、D错．]

点评 (1)动能定理反映的是合外力做的功和物体动能变化的关系．

(2)速率不变，速度有可能变化．

5．A [由动能定理可得合力对小孩做的功

11

W合＝mv2＝×25×22J＝50J

22又因为W合＝WG＋Wf

所以Wf＝W合－WG＝50J－750J＝－700J

由于支持力的方向始终与速度方向垂直，支持力对小孩不做功．]

6．A [急刹车后，车只受摩擦阻力Ff的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．

1

－Ffx1＝0－mv2

211

－Ffx2＝0－mv2

22

x2v22

②式除以①式得＝2. x1v1

① ②

故汽车滑行距离

v282

x2＝2x1＝()2×3.6m＝6.4m]

v16

点评 对恒力作用下的运动，可以考虑用牛顿运动定律分析．但在涉及力、位移、速度时，应优先考虑用动能定理分析．一般来说，动能定理不需要考虑中间过程，比牛顿运动定律要简单一些． H＋h7. h

解析 解法一：物体运动分两个物理过程，先自由落体，然后做匀减速运动．设物体落至地面时速度为v，则由动能定理可得

1

mgH＝mv2 ①

2

第二个物理过程中物体受重力和阻力，同理可得

1

mgh－F阻h＝0－mv2 ②

2F阻H＋h

由①②式得＝.

mgh

解法二：若视全过程为一整体，由于物体的初、末动能均为0，由动能定理可知，重力对物体做的功与物体克服阻力做的功相等，即

mg(H＋h)＝F阻h F阻H＋h

解得＝. mgh8．3.5m

解析 物体在斜面上受重力mg、支持力FN1、滑动摩擦力Ff1的作用，沿斜面加速下滑，在水平面上减速直到静止．

方法一：对物体在斜面上的受力分析如图甲所示，可知物体下滑阶段： FN1＝mgcos37°

故Ff1＝μFN1＝μmgcos37°

由动能定理得

12

mgsin37°·l1－μmgcos37°·l1＝mv1

2Ff2＝μFN2＝μmg 由动能定理得

12

－μmg·l2＝0－mv1

2由①②两式可得 l2＝

sin37°－μcos37°0.6－0.4×0.8

l1＝×5m＝3.5m.

μ0.4

①

在水平面上的运动过程中，受力分析如图乙所示

②

方法二：物体受力分析同上，物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程运用动能定理有

mgsin37°·l1－μmgcos37°·l1－μmg·l2＝0

sin37°－μcos37°0.6－0.4×0.8

得l2＝l1＝×5m＝3.5m.

μ0.4

方法总结 应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体的运动过程中变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．若不涉及中间过程量时，用整个过程分析比较简单．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待，求出总功．计算时要把各力的功连同符号(正、负)一同代入公式．

9．B [小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它的功，所以这道题要考虑用动能定理求解．由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgL(1－cos θ)＋W＝0，所以W＝mgL(1－cos θ)．]

方法总结 利用动能定理求变力做的功时，可先把变力做的功用字母W表示出来，再结合物体动能的变化进行求解． 课后巩固练

1．BC

2．C [物体只要速率不变，动能就不变，A错；速度有方向，动能没方向，B错；物体做自由落体运动时，其合力等于重力，重力做功，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度的大小一定变化，故D错．]

3．BCD [两物体的初动能相同，末动能也相同，动能的变化量相同，由动能定理知，合力对它们做的总功相等，即它们克服摩擦力做的功一样大．由关系式μm1gl1＝μm2gl2可知，

Fμmg

质量大的物体滑行的距离短．由牛顿第二定律a＝＝＝μg知，它们运动的加速度相同．]

mm

4．A [这段过程的初动能和末动能相等，根据动能定理W＝Ek2－Ek1知，W＝0，故选A.]

5．A [此过程中可忽略空气阻力，认为小石头只受重力作用．由动能定理，重力对物

112

体所做的功等于物体动能的变化，知mgh＝mv2v2＝v2A对．] 2－mv1，1＋2gh＝102m/s，22

6．B [物块在AB段所受的摩擦力大小、方向都变化，故不能直接用功的表达式进行计算，可用动能定理进行研究．设在AB段物块克服摩擦力做的功为W，则物块由A到B运用动能定理可得

1

mgR－W＝mv2－0

2B

① ②

1

物块由B到C运用动能定理可得－μmgR＝0－mv2

2B①②两式结合，整理可得W＝mgR(1－μ)，故应选B.] 7．B [由动能定理，得

1

W手－mgh＝mv2

211

则W手＝mgh＋mv2＝(1×10×1＋×1×22) J＝12J

22

11

F合l＝W手－mgh＝mv2＝×1×22J＝2J

22WG＝－mgh＝－1×10×1J＝－10J．故B错误．]

8．A [设水的深度为h，由动能定理mg(10＋h)－3mgh＝0，h＝5 m，A对．] 9．CD [由图象可知物体速度变化情况，根据动能定理得 1

第1s内：W＝mv2，

2第1s末到第3s末：

11

W1＝mv2－mv2＝0，A错；

22第3s末到第5s末： 1

W2＝0－mv2＝－W，B错；

2第5s末到第7s末：

1

W3＝m(－v)2－0＝W，C正确．

2第3s末到第4s末：

1v1

W4＝m()2－mv2＝－0.75W，D正确．]

222