高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

一、标准方程

?x?a???y?b?22?r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心?a,b?和半径r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 x?y?r2222?r?0?

222过原点 ?x?a???y?b??a?b圆心在x轴上 ?x?a??y?r222?a2?b2?0?

?r?0? ?r?0? ?a?0? ?b?0?

2圆心在y轴上 x??y?b??r222圆心在x轴上且过原点 ?x?a??y?a222圆心在y轴上且过原点 x??y?b??b2222与x轴相切 ?x?a???y?b??b222?b?0?

与y轴相切 ?x?a???y?b??a与两坐标轴都相切 ?x?a???y?b??a二、一般方程

222?a?0?

2?a?b?0?

x2?y2?Dx?Ey?F?0?D2?E2?4F?0?

1.Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0表示圆方程则

22???A?B?0?A?B?0????C?0 ?C?0??D2?E2?4AF?022?DEF???????4??0?????A??A??A?2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r4 3.D?E?4F?0常可用来求有关参数的范围

三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

d?r?点在圆内；d?r?点在圆上；d?r?点在圆外 2.涉及最值：

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

22PBmin?BN?BC?r PBmax?BM?BC?r

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAmin?AN?r?AC PAmax?AM?r?AC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离?没有公共点???0?d?r （2）相切?只有一个公共点???0?d?r （3）相交?有两个公共点???0?d?r

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．．i）点在圆外

如定点P?x0,y0?，圆：?x?a???y?b??r，[?x0?a???y0?b??r]

222222第一步：设切线l方程y?y0?k?x?x0?

第二步：通过d?r?k，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点P?1,1?作圆x?y?4x?6y?12?0的切线，求切线方程.

22答案：3x?4y?1?0和x?1 ii）点在圆上

1） 若点?x0，y0?在圆x2?y2?r2上，则切线方程为x0x?y0y?r2 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.

2） 若点?x0，y0?在圆?x?a???y?b??r上，则切线方程为

222?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

③求切线长：利用基本图形，AP?CP?r?AP?222CP?r2 2?AC?r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程?

k?k??1?ACAP3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 ．．．．

弦长公式：l?1?k2x1?x2?x?x??1?k????2122?4x1x2?（暂作了解，无需掌握）

?（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

例：若圆?x?3???y?5??r上有且仅有两个点到直线4x?3y?2?0的距离为1，则

222半径r的取值范围是_________________. 答案：?4,6? 4.直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题