4.设f(
5.已知x?y??1且x,y都是负数,求xy?
6.已知f(x)?arctan
7.证明tan3是无理数.
8.已知实系数二次函数f(x)与g(x)满足3f(x)?g(x)?0和f(x)?g(x)?0都有双重实根,如果已知f(x)?0有两个不同的实根,求证g(x)?0没有实根.
a?2bf(a)?2f(b),且f(1)?1,f(4)?7,求f(2014). )?331的最值. xy2?2x11?c在(?,)上是奇函数,求c. 1?4x44716,a13是等差数列,M?{ai?aj?ak|1?i?j?k?13},问:0,,是否可以同时在M23中,并证明你的结论.
9.a1,a2,
6
10.已知x1,x2,
,xn?R?,且x1x2xn?1,求证:(2?x1)(2?x2)(2?xn)?(2?1)n.
2010年“北约”自主招生数学解析
1．（仅文科做）0????，求证：sin????tan?． 2()0?，【解析】 不妨设f(x)?x?sinx，则f0且当0?x??时，f?(x)?1?cosx?0．于是f(x)2?上单调增．∴f(x)?f(0)?0．即有x?sinx． 2同理可证g(x)?tanx?x?0．
在0?x?g(0)?0，当0?x??1?g(x)时，g?(x)?．于是在上单调增。 ?1?00?x?cos2x22?上有g(x)?g(0)?0。即tanx?x。 2注记：也可用三角函数线的方法求解．
∴在0?x?2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为5?1．（25分） 2 7
【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直
角坐标系．
⑴当A,B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最P大值为PR1；当有一点位于O点时，ABmax?OP?PR1；
Q R1R2O
⑵当A,B均不在y轴上时，知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A?，有AB?A?B）．
P不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上．
且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是ABmax?AP或AQ； 对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于是
R2OBQAR1ABmax?R2P?R2Q
由⑴，⑵知ABmax?R2P．不妨设为x． 下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做?EFG的角平分线FH交EG于H． 易知?EFH??HFG??GFI??IGF??FGH?于是四边形HGIF为平行四边形．∴HG?1．
EFFGEH1?5x1??．解得x?．
21x?1HGx-1H1Gx11IE1F?． 5由角平分线定理知
?3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交
x轴于点D，直线AC与直线BD相交于点E．如图．设B(x1,y1),A(x2,y2)，
ACOyEBD 8 x且有y2?1?x22,y1?1?x12,x1?0?x2． 由于y???2x，
于是AC的方程为2x2x?2?y2?y；①
BD的方程为2x1x?2?y1?y． ②
联立AC,BD的方程，解得E(对于①，令y?0，得C(
对于②，令y?0，得D(2?y1,0)． 2x1y1?y2,1?x1x2)．
2(x2?x1)2?y2,0)； 2x22?y12?y21?x121?x22???于是CD?． 2x12x22x12x21S?ECD?CD(1?x1x2)．不妨设x1?a?0，?x2?b?0，则
211?a21?b2111S?ECD?(?)(1?ab)?(2a?2b???a2b?ab2)
4ab4ab1111?(a?b)(2?ab?)≥?2ab?(2?ab?) ③ 4ab4ab不妨设ab?s?0，则有
1111111S?ECD?(s3?2s?)?(s3?s?..?s??...?)
2s2339s9s 6个 9个
12411619161161383≥?16??s??s)???]?8?()?8??)2?3． ④ 239s339333,x2??b??, s?又由当x1?a?时，③，④处的等号均可取到． 3338∴(S?ECD)min?3．
911注记：不妨设g(s)?(s3?2s?)，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
2s1111由g?(s)?(3s2?2?2)知当0?s2?时g?(s)?0；当?s2时g?(s)?0．
2s33333)上单调减，在(,??)上单调增．于是当s?则g(s)在(0,时g(s)取得最小值． 333
4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ1在t0时取得最小值，问当0?t0?时，夹角的取值范围．（25分）
5【解析】 不妨设OA，OB夹角为?，则OP?1?t,OQ?2t，令
g(t)?PQ?(1?t)2?4t2?2?(1?t)?2tcos??(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1． 其对称轴为t?21?2cos?1?2x51?2cos?1．而f(x)?在(?,??)上单调增，故?1≤≤．
5?4cos?5?4x45?4cos?3 9
当0≤1?2cos?11?2cos?1?2?． ≤时，t0??(0,)，解得???5?4cos?35?4cos?5231?2cos??0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t0?0．不合题意．
5?4cos?当?1≤?2?于是夹角的范围为[,]．
23
?，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2(cosx?sinx)(cosx?sinx)【解析】 不存在；否则有cosx?sinx?cotx?tanx?，
sinxcosxcosx?sinx则cosx?sinx?0或者1?．
sinxcosx22?,,1,1不成等差数列； 若cosx?sinx?0，有x?．而此时224cosx?sinx若1?，有(sinxcosx)2?1?2sinxcosx．解得有sinxcosx?1?2．
sinxcosx11而sinxcosx?sin2x?(0,]，矛盾！
22
2011北约自主招生数学试题解析
?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。 5．（仅理科做）存不存在0?x?解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+=2(9+25)，=32，∴x=4?2求过抛物线
2
，
交点的直线方程。
。
解：，，7y=6x+1，∴6x+7y1=0为所求。
?3、等差数列满足=，，这个数列的前n项和为，数列中哪一
项最小，并求出这个最小值。 解：d=
，∴
，当n=，即n=6时
最小，最小为
。
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