??3a?xd?0,7?(y?x)d?,??7??2

于是存在正整数6?x,y,z?36,使得?3a?yd?,从而?2??(z?x)d?1616??3?3a?zd??3?y?x21?,由于21,32互质,且y?x,z?x为整数,则有|y?x|?21,|z?x|?32, z?x32716 但|z?x|?36?6?30,矛盾!假设错误,即证明0,,不可以同时在M中.

23 也所以

10.【证】(一法:数学归纳法)①当n?1时,左边2?x1?2?1?2?1?右边,不等式成立; ②假设n?k(k?1,k?N*)时,不等式(2?x1)(2?x2) 那么当n?k?1时,则x1x2(2?xk)?(2?1)k成立.

xkxk?1?1,由于这k?1个正数不能同时都大于1,也不能同时都小

于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设xk?1,0?xk?1?1, 从而(xk?1)(xk?1?1)?0?xk?xk?1?1?xkxk?1,所以 (2?x1)(?2x2 ?(2?x1)(?2x2 ?(2?x1)(?2x2)(?x2k)?[2)k)?(xk?21 x2?(kx??11)k?k1x)x ]1)(?x2xkk?)?(?2k?1 (21)?(2?1)?(2?1k) 其中推导上式时利用了x1x2xk?1(xkxk?1)?1及n?k时的假设,故n?k?1时不等式也成立.

综上①②知,不等式对任意正整数n都成立. (二法)左边展开得(2?x1)(2?x2) ?(2)?(2)nn?1(2?xn) xixj)??(2)n?k(?x?(ii?1n2)n?2(1?i?j?n?1?i1?i2??ik?n?xi1xi2xik)?x1x2xn

由平均值不等式得

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1?i1?i2??ik?n?xi1xi2xik?C(kn1?i1?i2??ik?n?xix1i2xik)kCn?C((x1x2knxn)k?1Cn?1)kCn?Cnk

故(2?x1)(2?x2)(2?xn)

2n?1?2 ??2)?(2n)Cn1?(n2C)n??k?(n2C)nk?C?nnn即证. )?(,2?1(三法)由平均值不等式有

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?k?1n1nnnxkxk221n?n(?)n……② ?n(?)……①;?2?xk2?xkk?1k?12?xk2?xkk?1①+②得n?n?2?(x1x2nk?1xn)1n1n(?2?xk)

,即(2?x1)(2?x2)(2?xn)?(2?1)n成立.

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