高中函数的基本性质 下载本文

一 函数的概念

①设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到

B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:A?B.

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数.

②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤y?tanx中,

x?k???2(k?Z).

⑥零(负)指数幂的底数不能为零.

二 函数的表示法

函数的表示方法:表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.

映射的概念

①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合

B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射,记作f:A?B.

② 给定一个集合A到集合B的映射,且a?A,b?B.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.

三 单调性与最大(小)值

1函数的单调性

①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时,都有f(x1)f(x2),那f(x )么就说f(x)在这个区间上oxx是减函数. 1212x

2最大(小)值定义

①一般地,设函数y?f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x?I,

x?If(x0)?M都有f(x)?M;(2)存在0,使得.那么,我们称M是函数f(x) 的

最大值,记作

fmax(x)?M.

(2) 一般地,设函数y?f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:(1)对于任意的x?I,

x?If(x0)?m都有f(x)?m;(2)存在0,使得.那么,我们称m是函数f(x)的最小

值,记作:f(x)min = m

四 函数的奇偶性

① 定义及判定方法

函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数. 图象 判定方法 (1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称) (1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y轴对称) 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数. ② 函数f(x)为奇函数,且在x?0处有定义,则f(0)?0.

③ 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相

反.

偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式 f(?x)?f(x) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)?f(?x)?0

五 函数周期性、对称性

1周期性:对于函数y?f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x?T)?f(x)都成立,那么就把函数y?f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的 正数叫做最小正周期。nT( n∈Z,n≠0 )

2T 2 函数y?f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为f(x?T)??f(x);

?(x+T)=?( x-T )

f(x?T)?11或f(x?T)??f(x)f(x);

3、函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)的周期是T=|(x+a)-(x+b)|=|a-b|

六 两个函数的图象对称性 1、

y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。

2、

y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。

3 函数y?f(x)与y??f(?x)图象关于原点对称

4

y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线

x?a?b2对称。

七 函数零点

1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数

y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x) 的图象与x轴交点的横坐标。即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点. 3、函数零点的求法: 求函数y?f(x)的零点:

○1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根;

○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

2y?ax?bx?c(a?0). 二次函数

21)△>0,方程ax?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二

次函数有两个零点.

22)△=0,方程ax?bx?c?0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一

个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

23)△<0,方程ax?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零

点.