第一章 1.1 第3课时
一、选择题
1.在△ABC中,若sinAcosB
a=b,则角B等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[答案] B
[解析] 由正弦定理知sinAsinBsinAcosB
a=b,∵a=b,
∴sinB=cosB,∵0°
2.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=13
14,则最大角的余弦值是( A.-15 B.-1
6
C.-17
D.-18 [答案] C
[解析] 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC =82+72-2×8×7×13
14=9,
所以c=3,故a最大, 所以最大角的余弦值为
b2+c2-a272+32-82cosA=12bc=2×7×3
=-7. 3.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150° [答案] B
[解析] ∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, ∴b2+c2-a2=bc,
b2+c2-a2∴cosA=2bc=1
2
,∴A=60°.
4.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( ) A.直角三角形
B.等腰三角形 )
C.等腰直角三角形 [答案] B
D.正三角形
[解析] ∵2sinAcosB=sin(A+B),∴sin(A-B)=0,∴A=B.
5.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有两解,则x的取值范围是( ) A.x>2 43C.2 3[答案] C [解析] 欲使△ABC有两解,须asin60° 343 x<2 B.x<2 43D.2 3 6.已知锐角△ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为( ) A.75° C.45° [答案] B 1 [解析] ∵33=×4×3sinC, 2∴sinC= 3, 2 B.60° D.30° ∵△ABC为锐角三角形, ∴C=60°,故选B. 二、填空题 7.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=________. [答案] 0 [解析] ∵b2=a2+c2-2accosB =a2+c2-2accos120° =a2+c2+ac, ∴a2+c2+ac-b2=0. 8.在△ABC中,A=60°,最大边与最小边是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC长为________. [答案] 57 [解析] ∵A=60°, ∴可设最大边与最小边分别为b,C. 又b+c=9,bc=8, ∴BC2=b2+c2-2bccosA =(b+c)2-2bc-2bccosA =92-2×8-2×8×cos60° =57, ∴BC=57. 三、解答题 B 9.在△ABC中,S△ABC=153,a+b+c=30,A+C=,求三角形各边边长. 2B3B13[解析] ∵A+C=,∴=180°,∴B=120°.由S△ABC=acsinB=ac=153得:ac= 222460,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cos120°) =(30-b)2-60得b=14, ∴a+c=16 ∴a,c是方程x2-16x+60=0的两根. ???a=10?a=6 ?所以或? , ?c=6???c=10 ∴该三角形各边长为14,10和6. 110.在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=. 3(1)求sinA的值; (2)设AC=6,求△ABC的面积. π [解析] (1)由sin(C-A)=1,-π 又∵A+B+C=π,∴2A+B=, 2ππ