第一章 1.1 第3课时

一、选择题

1．在△ABC中，若sinAcosB

a＝b，则角B等于( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

[答案] B

[解析] 由正弦定理知sinAsinBsinAcosB

a＝b，∵a＝b，

∴sinB＝cosB，∵0°

2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝13

14，则最大角的余弦值是( A．－15 B．－1

6

C．－17

D．－18 [答案] C

[解析] 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC ＝82＋72－2×8×7×13

14＝9，

所以c＝3，故a最大， 所以最大角的余弦值为

b2＋c2－a272＋32－82cosA＝12bc＝2×7×3

＝－7. 3．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( ) A．30° B．60° C．120° D．150° [答案] B

[解析] ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc，

b2＋c2－a2∴cosA＝2bc＝1

2

，∴A＝60°.

4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( ) A．直角三角形

B．等腰三角形 )

C．等腰直角三角形 [答案] B

D．正三角形

[解析] ∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.

5．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是( ) A．x>2 43C．2

3[答案] C

[解析] 欲使△ABC有两解，须asin60°

343

x<2

B．x<2 43D．2

3

6．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( ) A．75° C．45° [答案] B

1

[解析] ∵33＝×4×3sinC，

2∴sinC＝

3， 2

B．60° D．30°

∵△ABC为锐角三角形， ∴C＝60°，故选B. 二、填空题

7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________. [答案] 0

[解析] ∵b2＝a2＋c2－2accosB ＝a2＋c2－2accos120° ＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0.

8．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．

[答案]

57

[解析] ∵A＝60°，

∴可设最大边与最小边分别为b，C． 又b＋c＝9，bc＝8， ∴BC2＝b2＋c2－2bccosA

＝(b＋c)2－2bc－2bccosA ＝92－2×8－2×8×cos60° ＝57， ∴BC＝57. 三、解答题

B

9．在△ABC中，S△ABC＝153，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各边边长．

2B3B13[解析] ∵A＋C＝，∴＝180°，∴B＝120°.由S△ABC＝acsinB＝ac＝153得：ac＝

222460，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120°)

＝(30－b)2－60得b＝14， ∴a＋c＝16

∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两根．

???a＝10?a＝6

?所以或? ， ?c＝6???c＝10

∴该三角形各边长为14,10和6.

110．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.

3(1)求sinA的值；

(2)设AC＝6，求△ABC的面积．

π

[解析] (1)由sin(C－A)＝1，－π

又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝，

2ππ

即2A＝－B,0

13

故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝. 33(2)由(1)得cosA＝

6

. 3

ACsinA

又由正弦定理，得BC＝＝32. sinB11

∴S△ABC＝·AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝32.

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一、选择题

1．在钝角三角形ABC中，若sinA