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函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性:对于函数

y?f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x?T)?f(x)都成立,那么就把函数y?f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性:

我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式

奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式

上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数

f(?x)?f(x)

f(x)?f(?x)?0

y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)

简证:设点(x1,y1)在

y?f(x)上,通过f(x)?f(2a?x)可知,y1?f(x1)?f(2a?x1),即点

(2a?x1,y1)也在y?f(x)上,而点(x1,y1)与点(2a?x1,y1)关于x=a对称。得证。

若写成:

f(a?x)?f(b?x),函数y?f(x)关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b? 对称

22(2)函数

y?f(x)关于点(a,b)对称?f(a?x)?f(a?x)?2b

上述关系也可以写成f(2a?x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b

简证:设点(x1,y1)在

y?f(x)上,即y1?f(x1),通过f(2a?x)?f(x)?2b可知,

f(2a?x1)?f(x1)?2b,所以f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1,所以点

(2a?x1,2b?y1)也在y?f(x)上,而点(2a?x1,2b?y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得

证。

若写成:

(3)函数

f(a?x)?f(b?x)?c,函数y?f(x)关于点(a?bc,) 对称 22y?f(x)关于点y?b对称:假设函数关于y?b对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,

显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于关于

y?b对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现

y?b对称,比如圆c(x,y)?x2?y2?4?0它会关于y=0对称。

4、 周期性: (1)函数

y?f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为2T

A、

f(x?T)??f(x) B、f(x?T)?11 或f(x?T)??f(x)f(x)C、

T1?f(x)T1?f(x)或f(x?)?(等式右边加负号亦成立) f(x?)?21?f(x)21?f(x)y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)且f(b?x)?f(b?x),则可推出

f(x)?f(2a?x)?f[b?(2a?x?b)]?f[b?(2a?x?b)]?f[x?2(b?a)]即可

以得到

即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,y?f(x)的周期为2(b-a),

D、其他情形 (2)函数

则函数一定是周期函数”

(3)如果奇函数满足

根据

如果偶函数满足

f(x?T)??f(x)则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为x?T?2kT(k?z),2f(x)?f(x?2T)可以找出其对称中心为(kT,0)(k?z)(以上T?0)

T?2kT,0)(k?z),根2f(x?T)??f(x)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为(据

(4)如果奇函数

f(x)?f(x?2T)可以推出对称轴为x?T?2kT(k?z) (以上T?0)

y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)(T?0)y?f(x)是以4T为周期的周期性函

,则函数

数。如果偶函数

y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)(T?0),则函数y?f(x)是以2T为周

期的周期性函数。

定理3:若函数

f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?,且f(b?x)?f?b?x?(其中

a?b),则函数y?f?x?以2?a?b?为周期.

,则函f?x?在R上满足f(a?x)??f?a?x?,且f(b?x)??f?b?x?(其中a?b)

定理4:若函数数

y?f?x?以2?a?b?为周期.

,f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?,且f(b?x)??f?b?x?(其中a?b)

定理5:若函数则函数

y?f?x?以4?a?b?为周期.

y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。

换种说法:

二、 两个函数的图象对称性

1、

y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x),即它们关于y?0对称。

2、

y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。

换种说法:

y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x),即它们关于x?0对称。

3、

y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。

换种说法:

y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x),即它们关于x?a对称。

4、

y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。

换种说法:

y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a,即它们关于y?a对称。

5、

y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。

换种说法:

y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b,即它们关于点(a,b)对称。

a?b对称。 26、

y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?7、 函数的轴对称:

定理1:如果函数称.

y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?,则函数y?f?x?的图象关于直线x?a?b对

2推论1:如果函数

y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?,则函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称. y?f?x?满足f?x??f??x?,则函数y?f?x?的图象关于直线x?0(y轴)对称.

推论2:如果函数

特别地,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

8、 函数的点对称:

定理2:如果函数

则函数y?f?x?的图象关于点?a,b?对称. y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b,

推论3:如果函数

y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??0,则函数y?f?x?的图象关于点?a,0?对称.

推论4:如果函数

y?f?x?满足f?x??f??x??0,则函数y?f?x?的图象关于原点?0,0?对称.特别地,

推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

三、总规律:定义在R上的函数一定存在。

y?f?x?,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条

抽象函数的对称性与周期性

一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三式成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x)。 (2)f(2a-x)=f(x)。 (3)f(2a+x)=f(-x)。