34 诱导公式

教材分析

这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．

教学目标

1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．

2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．

3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．

4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．

任务分析

诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．

教学设计

一、问题情境 教师提出系列问题

1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？

2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由． 二、建立模型 1. 分析1

在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即

2. 应用1

在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．

练习：求下列各三角函数值．

（1）cos3. 分析2

π． （2）tan405°．

如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把

任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？

引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，

cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，

cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4. 分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．

由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．

又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝

从而得到：

．

，cos（180°＋α）＝－x，sin

5. 分析4

在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．

由学生独立完成如下推导：

如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，

sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：

进而推出：