四、(15分)茶是世界上最为广泛的一种饮料,但很少人知其营养价值。任一种茶叶都含有叶酸,它是一种维他命B。如今已有测定茶叶中叶酸含量的方法。为研究各产地的绿茶的叶酸含量是否有显著差异,特选三个产地绿茶,其中每个产地的绿茶制作了5个样品,共15个样品。按随机次序测试其叶酸含量(单位:mg),测试结果如下:
产地A 叶酸含量 A1 8.4 8.3 7.3 8.3 7.6
6.8 5.3 A2 5.4 7.4 7.1
9.8 8.4 A3 7.9 9.5 10.0
(1)三个产地的绿茶的叶酸含量有无显著性差异?(显著性水平??0.05) (2)如果三个产地的绿茶的叶酸含量有显著性差异,求均值差?A1??A2的置信水平
为95%的置信区间。
解: s=3,n1==n2=n3=5,n=15,
T?1??Xij?39.9, T?2??Xij?32 T?3??Xij?45.6,
i?1i?1i?1n1n21n31T?????Xij=117.5 X?7.8333
j?1i?1snjsnjT?2ST???X??=947.31-920.4167=26.8933
nj?1i?12ijSA??j?1sT?2jT?2??=939.092-920.4167=18.6753 njnSE?ST?SA=8.218
列方差分析表如下: 来源 平方和 因素A 18.6753 误差 8.218 F0.05(2,12)=3.89 < F=13.6353, 检验结果拒绝H0
(2) X1?7.98,X2?6.4,
S?则?2?E?0.6848;
n?st0.025(n?s)?t0.025(12)?2.1788
t0.025(16)SE(自由度 2 12 均方 9.3377 0.6848 F值 F=13.6356 112?)?2.17880.6848??1.1403, njnk5故置信区间为:
7.98-6.4?1.1403?1.58?1.1403?(0.4397,2.7203).
五、(15分)顾客依Poisson过程到达某商店,速率为??4人/小时。已知商店上午9:00开门。
(1)试求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时总计已到达5位顾客的概率。 (2)试求到10:00时仅到两位顾客的条件下,下午1:00时已到达10位顾客的概率;
(3)试求此Poisson过程{N(t),t?0}的协方差函数CN(s,t),写出推导过程。
解:令t的计时单位为小时,并以9:00为起始时刻。 (1)
15151P{N()?1,N()?5}?P{N()?1,N()?N()?4}222221?4?1 2e?4??4?24(4?2)1024?102}{e?{}?e?0.01551!4!3
(2)
P{N(4)?10,N(1)?2}P{N(1)?2}P{N(1)?2,N(4)?N(1)?8}P{N(1)?2}P{N(4)?N(1)?8}??P{N(1)?2}P{N(1)?2}P{N(4)?10|N(1)?2}?(4?3)8e?4?3??0.06658!
(3)CN(s,t)=?min{s,t},s,t>0,过程略。
六、(15分)设?Xn,n?0?为时齐马氏链,状态空间I??0,1,2?,一步转移概率矩阵为
?0.1?P=?0.9?0.1?0.20.10.80.7??0? 0.1??初始分布P(X0=0)=0.3,P(X0=1)=0.4,P(X0=2)=0.3。
(1)求概率P(X0=0,X1=1,X2=2); (2)求概率P(X0=1| X1=0, X2?2);
(3)判断?Xn,n?0?是否为遍历的,请说明理由;若是遍历的,求其平稳分布。 解:
?0.26P2=??0.18??0.740.60.190.180.14?0.63?? 0.08??
(1)
P(X0?0,X1?1,X2?2)?P(X2?2|X1?1)P(X1?1|X0?0)P(X0?0)?0.63?0.6?0.3?0.1134
P(X0?1|X1?0,X2?2)?(2)
P(X0?1,X1?0,X2?2)P(X1?0,X2?2)P(X2?2|X1?0)P(X1?0|X0?1)P(X0?1)0.14?0.18?0.4???0.24P(X2?2|X1?0)P(X1?0)0.14?0.3
(3)P2 皆正元 ,故遍历。
设平稳分布为(?1,?2,?3),由(?1,?2,?3)P=(?1,?2,?3)及?1??2??3?1可
817963,,)。 得平稳分布为(223223223
七、(15分)设Z1和Z2是独立同分布的随机变量。P(Z1??1)?P(Z2?1)?1。记2X(t)?Z1cos?t?Z2sin?t,t?R。证明X(t)是平稳过程。
11解:由已知,EZ1?EZ2??1??1??0,
22E(X(t))?E(Z1cos?t?Z2sin?t)?cos?tEZ1?sin?tEZ2?0
112?(?1)2??12??1, 又因为:EZ12?EZ222由Z1,Z2的独立性,EZ1Z2?EZ1EZ2?0, 故得:
RX(t,s)?E(Z1cos?t?Z2sin?t)(Z1cos?s?Z2sin?s)2?E(Z12cos?tcos?s?Z2sin?tsin?s?Z1Z2(cos?tsin?s?sin?tcos?s))
?cos(?(t?s))
所以,X(t)是平稳过程。