26.1 二次函数及其图象

专题一 开放题

1．请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析 式 ．（答案不唯一） 2．（1）若y?(m?m)x

2m2?m是二次函数，求m的值；

（2）当k为何值时，函数y?(k?1)xk

2?2k?1?(k?3)x?k是二次函数？

专题二 探究题

2

3．如图，把抛物线y=x沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是（ ） A．y?(x?1)2?1 B．y?(x?1)2?1 C．y?(x?1)?1 D．y?(x?1)?1

2

4．如图，若一抛物线y＝ax与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成的正方形有公共点，求a的取值范围.

专题三 存在性问题

5．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3. 1y??x2?bx?c（1）求抛物

222线的解析式；

（2）若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长

最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

b2注：二次函数y?ax?bx?c（a≠0）的对称轴是直线x=?.

2a =

16．如图,二次函数y?x2?x?c的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M 关于x轴的对称点是

2M′.

（1）若A(－4,0),求二次函数的关系式; （2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积; （3）是否存在抛物线y?12x?x?c,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛物线2

的函数关系式;若不存在,请说明理由.

【知识要点】

1．二次函数的一般形式y?ax2?bx?c（其中a≠0，a，b，c为常数）.

2．二次函数y?ax的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大． 3．抛物线y?a(x?h)?k的图象与性质：

（1）二次函数y?a(x?h)?k的图象与抛物线y?ax形状相同，位置不同，由抛物线y?ax平移可以得到抛物线y?a(x?h)?k.平移的方向、距离要根据h，k的值确定. （2）①当a?0时，开口向上；当a＜0时，开口向下； ②对称轴是直线x?h； ③顶点坐标是（h，k）.

b4ac?b2b24．二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=?，顶点坐标为(?,).

2a4a2a【温馨提示】

21．二次函数的一般形式y=ax+bx+c中必须强调a≠0.

2222222．当a＜0时，a越小，开口越小，a越大，开口越大. 3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的. 4．当a＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.

【方法技巧】

1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”.

22．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax+bx+c.

3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式y?a(x?h)?k.

参考答案

2

1． 答案不唯一，如y=x+3x﹣1等.

2【解析】设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，

∵ 开口向上，∴a＞0. ∵其与y轴交点纵坐标为﹣1，∴c=﹣1.

2

∵经过点（1，3），∴a+b－1=3.令a=1，则b=3，所以y=x+3x﹣1．

2??m?m?2,2．解:（1）由题意，得?解得m=2．

2??m?m?0,2

?k2?2k?1?2,（2）由题意，得?解得k=3．

?k?1?0,2

3．C【解析】把抛物线y=x沿直线y=x平移2个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为y?(x?1)?1，答案为C.

4．解:因为四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成正方形ABCD，所以A(1，2)，C(2，1).

22

设过A点的抛物线解析式为y＝a1x，过C点的抛物线解析式为y＝a2x，则a2≤a≤a1.

11

把A(1，2)，C(2，1)分别代入，可求得a1=2，a2=.所以a的取值范围是≤a≤2.

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2