1.3.2杨辉三角

教学目标：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用 教学重点：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用 教学过程

一、复习引入： 1．二项式定理

0n1n(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，

rn?rrab 2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cn二、讲解新课：

1 二项式系数表（杨辉三角）

(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行

两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：

mn?m?Cn（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．

n(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1n?k?1， ?Cn?k!kn?k?1n?k?1n?1∴Cnk相对于Cnk?1的增减情况由决定，， ?1?k?kk2n?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，

2k（2）增减性与最大值．∵Cn?且在中间取得最大值；

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C得最大值．

（3）各二项式系数和：

1x?∵(1?x)n?1?Cnrr?Cnx?n2nn?12n，Cn?12n取

?xn，

r?Cn?n?Cn 012?Cn?Cn?令x?1，则2n?Cn三、例子

例1．在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 0n1na?Cnab?证明：在展开式(a?b)n?Cn0123?Cn?Cn?Cn?a?1,b??1，则(1?1)n?Cn02?Cn?即0?(Cn02?Cn?∴Cn13)?(Cn?Cn?rn?rr?Cnab?n?(?1)nCn，

nn?Cnb(n?N?)中，令

)，

13?Cn?Cn?，

即在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

02?Cn?说明：由性质（3）及例1知Cn13?Cn?Cn??2n?1.

例2．已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2?（1）a1?a2??a7x7，求：

?a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|??|a7|.

解：（1）当x?1时，(1?2x)7?(1?2)7??1，展开式右边为

a0?a1?a2??a7

∴a0?a1?a2??a7??1，

?a7??1?1??2，

当x?0时，a0?1，∴a1?a2?（2）令x?1， a0?a1?a2??a7??1 ①

令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?37 ②

1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.

27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?37，

?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，

2∴|a0|?|a1|??|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 (1?x)[1?(1?x)10]（1?x）?解：(1?x)?(1?x)??

1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，

x7

∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为C11 例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 解：∵(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为C15?5x，

4在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为C152x?80x

∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x， ∴此展开式中x的系数为240 例5.已知(x?2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，2x求展开式的常数项 242解：依题意C4n:Cn?14:3?3Cn?14Cn

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10 设第r+1项为常数项，又 Tr?1?C(x)令

10?5r?0?r?2， 2r1010?r2r(?2)r?(?2)rC10xx10?5r2

2?T2?1?C10(?2)2?180.此所求常数项为180 课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质 课堂练习： 课后作业：