43. 如图，在四棱锥P?ABCD中，PB?平面PAC，四边形ABCD为平行四边形，且

AD?2AB?4,?BAD?135?.

（I）证明：AC?平面PAB

（II）当直线PC与平面PAB所成角的正切值为2时，求锐二面角A?PC?D的余弦值.

解：

（I）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，AD?2AB?4,?BAD?135?

∴AD?BC?4,AB?CD?22，?ABC?45?，……………………2分

222 ∴在△ABC中，AC?AB?BC?2AB?BC?cos?ABC?4，∴AC?22.

∴AB?AC?BC，即AB?AC，……………………………………3分 又∵PB?平面PAC，∴PB?AC，……………………………………4分

又∵AB?PB?B,AB,PB?平面PAB

∴AC?平面PAB……………………………………………………………5分 （II） 由（I）知，?APC是直线PC与平面PAB所成角，tan?APC?222AC22??2， APAP ∴AP?2， 又∵PB?平面PAC，∴PB?PA，PB?PA?2.………6分

∴△PAB是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有：

A?0,0,0?,B22,0,0,C0,22,0,D?22,22,0,P由已知PB????????2,0,2，………………7分

??2，0，?2是平面PAC的法向量，………………………… …8分

?设平面PCD的法向量为n??x,y,z?，CD??22,0,0，CP?

- 17 -

???2,?22,2，

???22y?2z?n?CP?0，??，?n??0,1,2?………………………… …10分 ????x?0?n?CD?0?cosPB,n?PB?nPB?n?2210?，…………………………… …… …11分

52510…………………………… …… …12分5

∴ 锐二面角A?PC?D的余弦值

44. 已知函数f?x???x???1?k?lnx，g?x??x?. x?x，???时，f?x??0. （III）证明：当x??1???有两个零点，证明：1?k?（IV）若函数y?f(x)?g(x)在?1，??17. 8详细分析：（I）f?(x)??1?1?1??lnx?1?，……………………………2分 ??2?x2?x????1?1??lnx?1??0 ??22?x??x?，???时，f?(x)??1? 当x??1，???上单调递增………………… ………………3分 ?f(x)在区间x??1 ?f(x)?f(1)?0，不等式成立.………………… ……………………4分

???有两个零点， （ＩＩ）函数y?f(x)?g(x)在?1，???上有两解，…………5分 即方程x?1lnx?x??k在区间?1，22?? 令h(x)?x?1lnx?x，则h?(x)?2xlnx?x??2?21 x1?1?0， x2 令?(x)?h?(x)?2xlnx?x?，x?1，???(x)?2lnx?1x???单调递增…………………………………………6分 ?h?(x)在区间?1，又?h?(1)??2?0,h?(2)?4ln2?5?0， 21?0， m故存在唯一的实数m??1,2?，使得h?(m)?2mlnm?m? - 18 -

即lnm?11…………………………………………………………8分 ?22m2所以h?x?在?1,m?上单调递减，在区间?m,???上单调递增，

且h?1??h?e???1，…………………………………………………………9分

1?1?21??12h(x)min?h(m)?(m2?1)lnm?m2?(m2?1)???m????m?2?， 22?m??22m?又因为m??1,2?，所以h?x?min??17，…………………………………11分 8???上有两个零点， 方程关于x的方程x?1lnx?x??k在?1，22??由f?x?的图象可知，?即1?k?17?h?x?min??k?h?1???1， 817.……………………………………………………………12分 8

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

?x?2cos?已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：?（?为参数）.在

?y?2sin?以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为：

???2?sin?????1.

4??（III）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（IV）设点P的直角坐标为?1,0?，若直线l与曲线C分别交于A,B两点，求的值.

11?PAPB?x?2cos? （I）将曲线C的参数方程?（?为参数），

?y?2sin?x2y2??1，………………………………………………………2分 化为普通方程42 - 19 -

由直线l的极坐标方程2?sin?????????1得：?cos???sin??1，…………4分 4?将x??cos?,y??sin?代入上式得：直线l的方程为x?y?1?0，…………5分 （II）因为点P的直角坐标为?1,0?在直线l上，

?2t?x?1??2(为参数）

可设直线l的参数方程为?，………………………………7分 t?y?2t?2?

与曲线C的方程联立，化简得：3t?22t?6?0，??0，设A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1?t2?222,t1t2??2,………………………………………………………8分 3t1?t22511故???,…………………………………………………10分 PAPBt1t23

45. [选修4-5：不等式选讲]

设函数f(x)?x?2?x?1.

（III）求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值范围.

（IV）若集合xf(x)?ax?1?0?R，求实数a的取值范围.

（1）因为x?2?x?1??x?2???x?1??3,

当且仅当?x?2??x?1??0，即-1?x?2时，上式等号成立， 故函数f?x??x?2?x?1的最小值为3，

且f?x?取得最小值时x的取值范围是?-1,2?.………………………………4分 （2）因为xf?x??ax?1?0?R，所以?x?R,f?x???ax?1.

???? - 20 -