第1讲 速算与巧算（等差数列）

1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 a1 来表示），第二个数叫做第二项??以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 an 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8，?，100。

2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即：

d?a2?a1?a3?a2???an?2?an?1?an?an?1

例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么？）

练习：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式：

（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：an?a1?(n?1)?d

（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：n?(an?a1)?d?1

（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：a1?a2?a3??an??a1?an??n?2

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

1.计算：

（1）2000－3－6－9－…－51－54 （2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋7＋…＋97＋99）

（3）1991－1988＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2

2.计算：2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1

3.计算：1+3+4+6+7+9+10+……+2001+2002

4.在1950—1998之间要插入15个数，这样就可以组成一个等差数列，被插入的这15个数的和是多少？

5.15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

6.100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？

7.1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？

8.仔细观察下图，想一想当对角线上的数字是77的时候，图中共有多少个阴影小正方形？

9.如右上图，表中将自然数按照从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯，……，那么，第18个拐弯的地方是（ ）。

10.计算下面数阵中所有数的和。

1 2 3 4 …… 98 99 100 2 3 4 5 …… 99 100 101 3 4 5 6 …… 100 101 102 4 5 6 7 …… 101 102 103 …… …… …… 98 99 100 101 …… 195 196 197

99 100 101 102 …… 196 197 198

100 101 102 103 …… 197 198 199