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概率论与数理统计期末试卷及答案

一.填空题(每空题2分,共计60分)

1、A、B是两个随机事件,已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3,则p(A?B)? 0.6 , p(A-B)? 0.1 ,P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2只,则第一次、

第二次取红色球的概率为: 1/3 。(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 9/25 。(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 21/55 。 3、设随机变量X服从B(2,0.5)的二项分布,则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现从由甲厂、

乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 (1)抽到次品的概率为: 0.12 。

(2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为: 0.5 . 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右,则a?0.1, E(X)?0.4,

X与Y的协方差为: - 0.2 ,

X Y -1 1 0 1 0.2 0.3 0.4 a Z?X?Y2的分布律为:

z 1 2 0.6 0.4 概率 6、若随机变量X~N(2, 4)且?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,则P{?2?X?4}?0.815 ,

Y?2X?1,则Y~N( 5 , 16 )。

7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X、Y相互独立,则:

E(2X?Y)? - 4 ,D(2X?Y)? 6 。

(X?Y)? 30 8、设D(X)?25,D(Y)?1,Cov(X,Y)?2,则D9、设X1,?,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本,X为样本均值,S2为样本方差。则:X~N

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(8 , 8/13 ),

X?8252~ t(25)。 S~?2(25),

16s/25?ax2, 0?x?1二、(6分)已知随机变量X的密度函数f(x)??

, 其它?0 求:(1)常数a, (2)p(0.5?X?1.5)(3)X的分布函数F(x)。

解:(1)由

?????f(x)dx?1,得a?3 2’

(2) p(0.5?X?1?5)=

?1..50.5f(x)dx??3x2dx?0.875 2’

0.51?0 x?0? (3) F(x)??x3, 0?x?1 2’

?1 , 1?x?三、(6分)设随机变量(X,Y)的联合概率密度为:f(x,y)??求:(1)X,Y的边缘密度,(2)讨论X与Y的独立性。 解:(1) X,Y的边缘密度分别为:

1?0?x?1?2ydy?1 fX(x)???0? 其他 ?0 0?x?1,0?y?1?2y,

, 其它?0 ? 0?y?1?f(x,y)dx??02ydx?2y,fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见

??1 4’

f(x,y)?f(?f(, 可知: X,Y相互独立 2’ Xx)Yy)

一. 填空题(每小题2分,共计60分)

1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件, 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件;设E为等可能型试验,且S包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。

2.P(A)?0.4,P(B)?0.3。若

A与B独立,则P(A?B)? 0。28 ;若已知A,B中至少有一个事件发

生的概率为0.6,则P(A?B)? 0.3,P(AB)? 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/28。

若有放回地回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/32 。

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4、E(X)?D(X)?1。若X服从泊松分布,则P{X?0}?1?e2?1;若

X服从均匀分布,则P{X?0}? 0 。

? 2 ;P{X?0}? 0.8 。5、设X~N(?,?),且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3,则?6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为: 买 (买,不买或无所谓)。

〈0X〈4?? 0.75 ;E(2X?1)?__7___, 7、若随机变量X~U(1,5),则p?D(3X?1)? 12 .

8、设

62X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44,则

P{X?n}?0.43,并简化计算

?6?k6?k2k???k??0.40.6?6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。 k?0??9、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X、Y相互独立,则:E(2X?Y)?

-4 ,D(2X?Y)? 6 。

10、设X1,?,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本,X为样本均值,S为样本方差。

则:X,pX?20?1= 0.0556 , ~N(20, 1/4 )

2??X?20152S~?2(15),~ t(15)。 16s/15此题中?(2)?0.9772。

??e??x, x?0111、随机变量X的概率密度f(x)?? ,则称X服从指数分布,E(X)?。

? x?0?0, 13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是: 则X的方差D(X)? 0.21 ;

X与Y的相关系数为:?XY? 3/7 。

X Y 0 1

0 1 0.4 0.3 0.3 0 二、 (7分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从

由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%,80%,5%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率.

解:设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂, 有:

p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5% 2’

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