常微分方程第四章测验试卷（1）

班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分）

1、如果xi(t)(i?1,2,...,n)为齐线性方程的n个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。

2、形如————————————————的方程称为欧拉

方程。

3、如果xi(t)(i?1,2,...,n)为齐线性方程的一个基本解组，xi(t)为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。

4、设x1(t)?0是二阶齐线性方程x???a1x??a2x?0的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。

5、微分方程x???x?1的基本解组为——————————。 3sint6、函数组et,e?t,e2t的伏朗基行列式为—————————。 7、若xi(t)(i?1,2,...,n)a?t?b上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。

8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。

9、n阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分）

1、 求x????4x???5x??2x?2t?3的通解。 2、 求方程xx???(x?)2?(x?)3?0

3已知x?sint? 是x???2。tx?x?0的解，试求方程的通解t4、求方程t2x???tx??2x?tlnt的通解。

5、求方程x(4)?x?2et,x(0)?x?(0)?x??(0)?x???(0)?1的解。 三、 证明题（20分）

1、 xi(t)(i?1,2,...,n)是齐次线性方程组的n个解，则有：当

x1(t)......,xn(t)在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)?0,

t?[a,b].

2、若xi(t)(i?1,2)是非齐次线性方程x????4x???3x??sinx的2个解，则

x1(t)?x2(t)存在。 有：当limn??

常微分方程第四章测验试卷（1）参考答案

一、填空

1.?cixi(t)

i?1nn?1dnyydyn?1d2.x?ax?......?ax?any?0 1n?1nn?1dxdxdxnt?a1(s)ds3.?cixi(t)?x(t)

i?1n 4.x(t)?c1x1(t)?c2x1(t)?ete?t?e?te?te2t2e2t 7.w(t)=0 4e2tet0?x12dt

5.cost、sint. 6etet?8.比较系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、复数法。

9.由积分F(s)??e?stf(t)dt所定义的确定于复平面(Res??)上的复变数s的函

0数F(s)

10、n 二、计算

1、齐线性方程x????4x???5x??2x?0的特征方程为?3?4??5??2?0，解得?1??2?1，?3?2。故齐线性方程的一个基本解组为et、tet、e2t因为??0不是方程的特征根所以原方程有形如x(t)?B0t?B1的特解。将x(t)代入原方程，比较t的同次幂系数得：5B0?2(B0t?B1)?2t?3即?2B0t?5B0?2B1?2t?3??2B0?2故有??5B0?2B1?3解之得B0??1;B1??4所以原方程的通解为：x(t)?c1et?c2tet?c3e2t?t?42、解：令x??y,则x???yy?0时，即x?c.y?0时，xdydy代入原方程得xy?y2?y3?0dxdxdy?y?y2?0dxdydy?xy?y211lnx??dy??dyy1?ylnx?lny?ln1?y?cc1x?(1?x1?cxcxydx即y?1即?11?yc1x?1dtc1x?11)dx?dtc1x1lnx?t?c2c11所以原方程的通解为x?c或x1?lnx?t?c2c1?

3、解：方程的通解可表示为：x(t)?c1sint1sintcost?c2dt?c?c12t?sin2tttsintsintesint?c2dt?c1tt?sin2ttt2?tdt2

4、解：先求t2x???tx??2x?0的解。这是欧拉方程，寻找形如x?tk的解。得到确定k的方程。k(k?1)?k?2?0?k1?1?i;k2?1?i.所以欧拉齐次方程的基本解组为tcoslnt,tsinlnt.由常数变易法，设x(t)?c1(t)tcoslnt?c2(t)tsinlnt.???c1(t)coslnt?c2(t)tsinlnt?0???lnt??c1(t)(coslnt?sinlnt)?c2(t)(sinlnt?coslnt)?t????lnt?解得：c1(t)?sinlnttlnt?c2(t)?coslnttc(t)?lntcoslnt?sinlnt?c1积分得1c2(t)?lntsinlnt?coslnt?c2所以原方程的解为x(t)?c1(t)tcoslnt?c2(t)tsinlnt?tlnt?c1tcoslnt?c2tsinlnt.

解：?4?1?02k???2k????isin,k?0,1,2,34422?22?1??i；?2??i22222222?3???i；?4??i；22225、??1不是方程的特征根，所以x(t)?Aet代入原方程得?4?cos

22tsint222Aet?2et?A?1所以x(t)?c1e所以x(t)?et.?22tcost22?c2e22tsint22?c3e?22tcost22?c4e??et由x(0)?x?(0)?x??(0)?x???(0)?1?c1?c2?c3?c4?0 6、

解：设y?a0?a1x?......anxn为方程的解。y(0)?0?a0?0,y?(0)?1?a1?1所以y?x?a2x?......?anx?......2n

②

y??1?2xa2?......?nanxn?1?...... ③ y???2a2?......?n(n?1)anxn?2?...... ④

a2?0；a3?1；a4?0；......②③④代入原方程中比较系数得an?2n?1?an2