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2015届高考数学二轮复习专题检测：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( ) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2 C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2 [答案] B
[解析] 用f(1)＝－1验证即可．
2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( ) A．甲大 B．乙大
C．相等 D．无法比较 [答案] B
[解析] v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1，所以在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大． 3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的3
一条切线的斜率是2，则切点的横坐标为( ) A．ln2 B．－ln2 ln2ln2C．2 D．－2 [答案] A
[解析] 易知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)是奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，即a＝1，所以3
f′(x)＝ex－e－x＝2，解得x＝ln2，所以切点的横坐标为ln2.
1
4．(文)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－2，则f(x)的解析式可能为( ) 1
A．f(x)＝2x2－lnx C．f(x)＝sinx
B．f(x)＝xex
1
D．f(x)＝x＋x
[答案] D
[解析] 本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D符合题意．
(理)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝( ) A．－e B．－1 C．1 D．e [答案] B
1
[解析] 由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
5．(文)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
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A．f′(x0)<0 B．f′(x0)>0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 [答案] B
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f′(x0)＝3.故选B．
(理)已知t>0，若?t(2x－2)dx＝8，则t＝( )
?0A．1 B．－2 C．－2或4 D．4 [答案] D
[解析] 由?t(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|t0＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)，选D．
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6．已知函数f(x)＝2x3－x2－2x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( ) A．f(－a2)≤f(－1) B．f(－a2) D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定 [答案] A 3717 [解析] 由题意可得f′(x)＝2x2－2x－2，令f′(x)＝2(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝3.当7 x<－1时，f(x)为增函数；当－1 所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，所以f(－a)2≤f(－1)． 1 7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f′(x)>0，且f(0)＝0，f(－2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为( ) 11 A．{x|x<2} B．{x|0 C．{x|x<－2或0 11 [解析] 根据图像得不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或0 11 D．{x|－2≤x≤0或x≥2} 8．(文)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( ) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 学习好资料 欢迎下载 [答案] A [解析] 本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用，要使函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极值中一个为零即可，因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0可得c－2＝0或c＋2＝0，即c＝±2. (理)(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足?1－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的 ? 一组正交函数，给出三组函数： 11 ①f(x)＝sin2x，g(x)＝cos2x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2. 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] C [解析] 本题考查定积分的运算，函数的新定义． 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足?1f(x)g(x)dx＝0. ?－1 1111 ①?1f(x)g(x)dx＝?1sin2xcos2xdx＝2?1sinxdx＝(－2cosx)|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]?－1?－1?－1上的正交函数； x34②?1f(x)g(x)dx＝?1 (x＋1)(x－1)dx＝(3－x)|1－1＝－3≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的?－1?－1正交函数； x4③?1f(x)g(x)dx＝?1x·x2dx＝4|1－1＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数． ?－1?－1综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2. f1 9．已知f(x)＝alnx＋2x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有成立，则a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(0,1] [答案] A f [解析] 由于x1－fx2 ＝k≥2恒成立， x1－x2 x1－fx2 ≥2恒 x1－x2 所以f′(x)≥2恒成立． aa 又f′(x)＝x＋x，故x＋x≥2， 又x>0，所以a≥－x2＋2x， 而g(x)＝－x2＋2x在(0，＋∞)上最大值为1， 所以a≥1.故选A． 10．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值