第一章 集合

[自我校对] ①互异性 ②空集 ③集合相等 ④补集

集合中元素互异性 求出集合中的参数后，要将求出的参数回代，求出相应的集合，一是验证是否符合集合元素的互异性，二是验证求出的集合是否满足题目条件．

设集合A＝{x2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求满足条件

的x的值．

【精彩点拨】 根据交集的意义，利用分类讨论的思想求x的值，注意对取值代入集合

2,

A、B，检验是否符合集合元素的互异性．

【规范解答】 由A∩B＝{9}，得9∈A，所以x＝9或2x－1＝9，故x＝±3或x＝5. 当x＝3时，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去． 当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，满足题意．

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，A∩B＝{9，－4}，与已知矛盾，应舍去． 综上所述，满足条件的x值为－3. [再练一题]

1．已知集合A中含有两个元素a和a，若1∈A，求实数a的值． 【解】 若1∈A，则a＝1或a＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a，集合A有一个元素， ∴a≠1. 当a＝－1时，

集合A含有两个元素1，－1，符合互异性． ∴a＝－1.

2

2

2

2

集合的基本关系 1.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A?B”或“AB且B≠?”时，一定要分A＝?和A≠?两种情况进行讨论，其中A＝?的情况易被忽视，应引起足够的重视．

2．在解决两个数集的关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

已知集合A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{x|x－x＋p＝0}，且B?A，求实数p的范围． 【精彩点拨】 分B＝?与B≠?两种情况讨论．

【规范解答】 (1)当B＝?时，B?A，由Δ＝(－1)－4p<0， 1解得p>.

4

(2)当B≠?，且B?A时，方程x－x＋p＝0存在两个正实根． 由x1＋x2＝1>0，Δ＝(－1)－4p≥0，且x1x2＝p>0， 1

得0

4

由(1)(2)可得p的取值范围为{p|p>0}．

[再练一题]

2．已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a

2

2

2

2

值范围．

【导学号：04100012】

【解】 ∵a<1，∴2a

由图知，要使B?A，需2a≥1或a＋1≤－1， 1

即a≥或a≤－2，又∴a<1，

2

???1

∴实数a的取值范围是?a?a≤－2，或≤a<1?

2???

.

集合的交、并、补运算 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．

设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

【规范解答】 把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2

∴(?RA)∩B＝{x|2

[再练一题]

3．设全集U＝R，A＝{x∈R|a≤x≤2}，B＝{x∈R|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}． (1)若B?A，求实数a的取值范围； (2)若a＝1，求A∪B，(?UA)∩B.

??2?

【解】 (1)B＝?x?x≤2，且x≥?3?????2?

＝?x?≤x≤2???3?

，

又∵B?A，

2?2?∴a≤，即实数a的取值范围是?－∞，?.

3?3?(2)若a＝1，则A＝{x|1≤x≤2}，