课时作业(十五)
一、选择题
1111
1．数列，，，，…的一个通项公式为( )
3815241
A．an＝n
2＋1C．an＝
1
nn＋2
B．an＝
1 n＋2
1
D．an＝n
2－1
答案 C 解析 观察知an＝
1n＋1
＝2
－1n1
. n＋2
2．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取( ) A．19 C．21 答案 C
解析 a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an ∴x＝8＋13＝21，故选C.
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N)，则a100的值是( ) A．9900 C．9918 答案 B
解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 99·99＋1＝2·＋2＝9918
2
4．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an＝( ) A．2 C．2
n－1n*
B．20 D．22
B．9918 D．11000
1
B.n(n＋1) 2D．2－1
n
答案 C
解析 方法一 由已知an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)且a0＝1，得到a1＝a0＝1＝2
1－1
，a2＝
a0＋a1＝2＝22－1，
a3＝a0＋a1＋a2＝4＝23－1， a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝8＝24－1.
由此猜想出an＝2
n－1
(n≥1)．
方法二 由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)， 得an＋1＝a0＋a1＋…＋an－1＋an. ∴两式相减得an＋1－an＝an. ∴an＋1＝2an.∴
an＋1
＝2(n≥1)． an∴该数列{an}为一等比数列(n≥1)，其中a1＝a0＝1. ∴当n≥1时，an＝2
n－1
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为( )
1＋2anA．2n－1 C.1
2n－1
B．2n＋1 D.1 2n＋1
an答案 C
an11
解析 ∵an＋1＝ ∴＝＋2
1＋2anan＋1an?1?1
∴??为等差数列，公差为2，首项＝1
a1?an?
11
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝ an2n－1二、填空题
1*
6．已知数列{an}对于任意p，q∈N，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.
9答案 4 1
解析 ∵a1＝. 9
248
∴a2＝a1＋a1＝，a4＝a2＋a2＝，a8＝a4＋a4＝.
999
18
∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(＋)＝4.
997．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于________． 答案 4
解 当n＝1时，由S1＝a1＝2(a1－1)，得a1＝2；当n＝2时，由a1＋a2＝2(a2－1)，得a2
＝4.
8．(2018·南京质检)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n的代数式表示)
答案 4n＋8
解析 第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.
9．已知：f(x)＝x＋3x＋2，数列{an}满足a1＝a，且an＋1＝f′(an)(n∈N)，则该数列的通项公式an为________．
解析 f(x)＝x＋3x＋2 ∴f′(x)＝2x＋3 ∴an＋1＝f′(an)＝2an＋3. ∴an＋1＋3＝2(an＋3)．
∴{an＋3}是公比为2，首项为3＋a的等比数列 ∴an＋3＝(3＋a)·2∴an＝(3＋a)·2
n－1
n－1
2
2
*
－3
10．已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________. 解析 ∵Sn＋1＝2∴Sn＝2
n＋1
n＋1
－1
∴n＝1时，a1＝3
n≥2时，a1＝Sn－Sn－1＝2n
??3，n＝1∴an＝?n?2，n≥2?
11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为
an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为．．．Tn，则T4＝________.
答案 2－1 10
1－2解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝1－2＝2－1.
当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1、4，第3次生成的数为1、2，－4、7，第4次生成的数为－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故T4＝10.
1
2a，0≤a≤??2＝?1
2a－1，≤a<1，??2
nnnnnnn12．(2018·福州质检)数列{an}满足an＋1
a1＝，则数列的第3
5