第一章 习题

1. 思考题

（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？

（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？

（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？

（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？

（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？

（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2. 建立下列问题的线性规划模型：

（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：

表1-18 产品 原料单耗 机时单耗 利润 A 2 2.5 10 B 3 3 14 C 5 6 20 资源数量 2000 2600 另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。试制定使总利润最大的模型。

（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。

表1-19 合金品种 含铅% 含锌% 含锡% 单价（元/kg） 1 30 60 10 8.5 2 10 20 70 6.0 3 50 20 30 8.9 4 10 10 80 5.7 5 50 10 40 8.8 如何安排配方，使成本最低？

（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。

1

表1-20

班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00－10:00 10:00－14:00 14:00－18:00 18:00－22:00 22:00－2:00 2:00－6:00 最少人数 60 70 60 50 20 30 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？

（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？

1.7 3 3

1.4 1.4

图1-6

3. 用图解法求下列线性规划的最优解：

(1) min z?4x1?6x2? x1?2x2?1? 4x?3x?1.5 ?12 ???x1?2x2?4??x1,x2?0(3) max z?6x1?9x2? 2x1?3x2??2x ?x12?? ? 4x1?5x2? x2???x1,x2?0

(2) max z?4x1?4x2

? 2x1?3x2?10??x ?x?5?12 ?? x1?2x2?8??x1,x2?0

?22?4?0?6

(4) max z?x1?3x2?4x1?3x2?12 ? ?x ?x?1?12?x,x?0?122

4. 把下列线性规划化为标准形式：

(1) min z??x1?2x2?x3(2) max z?2x1?3x2?? x1 ?x3?x4?1? ??2x1 ?x2?x3 ??2

?x1?2x2?8 ??3x??x1 ?x2 ?1 1 ?x2?x3?x4?1??x1 ?2?x1?0,x2,x3?0x4无约束??x1?0,x2无约束

5. 判定下列集合是否凸集：

（1）R1=｛(x1,x2)|x12+2x22≤2｝

（2）R2=｛(x1,x2)|x12－2x2+3≥0,x2≥0,|x1|≤1｝ （3）R3=｛(x1,x2)|x1x2≥1,x1≥1,x2≥0｝

6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。

max z?3x1?5x2??x1 ?x3 ?48 ?? 2x2 ?x4 ?12 ?3x1 ?2x2 ?x5?18??xj?0, j?1,?,5

7. 求下列线性规划的解： （1）

（2）

max z?3x1?5x2?2xmax z?2x1?4x2?1 ?8

?? x2 ?6

? x1?2x2 ?4 ?x

?3x??x1?2 ?11 ?2x2?18???x?x1,x2?01,x2?0（3）

（4）

max z?2xmax z?2x1?x2?x31?x2?

??x1?2x2??2?3x1?x2?x3?60 ???x

??x1?x2?2x3?10 1?x2?1??x1,x2?0?x1?x2?x3?20??x1?0,x2?0,x3?0

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