偏微分方程数值解
一（10分）、设矩阵A对称正定，定义J(x)?x?R1(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，证明下2列两个问题等价：(1)求x0?Rn使J(x0)?minJ(x);(2)求下列方程组的解：Ax?b n解: 设x0?Rn是J(x)的最小值点,对于任意的x?Rn,令
?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??22(Ax,x), (3分)
因此??0是?(?)的极小值点,?'(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分) 反之,若
x0?Rn满足
Ax0?b,则对于任意的x,
1J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分)
2评分标准:?(?)的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
ddu??Lu??(p)?qu?fx?(a,b)二（10分）、对于两点边值问题：? dxdx??u(a)?0,u(b)?0其中p?C1([a,b]),p(x)?minp(x)?pmin?0,q?C([a,b]),q?0,f?H0([a,b])
x?[a,b]建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和
Galerkin形式的变分方程。
1?{u|u?H1(a,b),u(a)?u(b)?0}为求解函数空间,检验函数空间.取解: 设H01v?H0(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)
bdudv1(a,b) a(u,v)??(p.?quv)dx??fvdx?f(v),?v?H0aadxdxb即变分问题的Galerkin形式. (3分)
11bdu令J(u)?a(u,u)?(f,u)??[p()2?qu2?fu]dx,则变分问题的Ritz形式为
22adx1(a,b),使J(u*)?min1J(u) (4分) 求u*?H0u?H0评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,
三（20分）、对于边值问题
??2u?2u?2?2??1,(x,y)?G?(0,1)?(0,1) ??x?y??u|?G?0（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取h?1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就取h?1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散xj?jh,yk?kh,差分格式为
uj?1,k?2ujk?uj?1,kh2?uj,k?1?2ujk?uj,k?1h2??1 (5分)
h2?4u?4u应用Tayloy展开得到,截断误差为[4?4]jk?O(h4),其阶为O(h2) (3分)
12?x?y(2) 未知量为U?(u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AU?F,其中
?4?1?10??1??????140?11?1???A??,F? (4分) ????104?191?????0?1?14??1?????解为u?1(1,1,1,1)T (3分) 18?B???I(3) 矩阵为?????IB??I??I??4?1?????14?1???B?, (5分) ??????????B??14???评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分
??u?2u??a2,0?x?1,0?t?T?x??t四（20分）、对于初边值问题?u(x,0)??(x),0?x?1
?u(0,t)?u(1,t)?0,0?t?T??（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即AUk?1?BUk??F的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性
（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
?1uk?ukjj解:(1) 区域离散,格式为
??a12k?xuj , (5分) 2h1?2ukah2?4uk(4)j?O(?2?h4),阶为应用Taylo展r开得到,误差主项为(2)j??2?t12?xO(??h2) (3分)
(2) A?E,B?diag{r,1?2r,r}, (4分) 稳定条件为r?1/2 (3分)
?1uk?ukjj(3) 格式为
??a2?x(?ukj?1?(1??)ukj), (3分) 2h当??
111格式恒稳定,当??,稳定条件为r? (2分) 221?2?