②Xi的分布律的是P(Xi?k)?1(k?1,2,?)

k(k?1)③Xi的密度函数为f(x)?1(???x???)

?(1?x2)?Ax?1?3④Xi的密度函数为g(x)??x

x?1??016、设X1,X2,?Xn独立同分布，且服从参数为1/?的指数分布，则下列结论正确的是( )

?n??n??X?nX?n??ii?????i?1??i?1?① LimP??x???(x) ② LimP??x???(x)

n??n??nn?????????????n??n?X?nX?n??i?i?????i?1??i?1?③ LimP??x???(x) ④ LimP??x???(x)

n??n??n?n?????????????17、设X1,X2,?,X1000,?为独立同分布的随机变量序列， 且Xi~b(1,p)(i?1,2,?1000)，则下列中不正确的是（ ）

1①

10001000i?1?Xi?p ②?Xi~b(1000,p) ③P(a??Xi?b)??(b)??(a)

i?1i?1100010001000④ P(a?

?Xi?b)??(i?1b?1000p1000pq)??(a?1000p1000pq)

三、计算题

1、设随机变量X和Y相互独立且均服从N(0,)，求|X?Y|的数学期望。 2、设球的直径（单位：mm）X~U(10,11)，求球的体积的数学期望。

概率论与数理统计 第25页（共57页）

12223、已知X~N(1,3),Y~N(0,4),?XY??0.5，设Z?X3?Y，求Z的数学期望和

2方差及X与Z的相关系数。

4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，今随机抽查100个索赔户，求其中被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率。

5、甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束，假设每次比赛甲队获胜的概率为 0.6，求比赛场数的数学期望。

6、某城市的市民在一年内遭受交通事故的概率为千分之一。为此，一家保险公司决定在这个城市新开一种交通事故险，每个投保人每年交付保险费18元，一旦发生事故，将得到1万元的赔偿。经调查，预计有10万人购买这种险种。假设其他成本共40万元 求（1）保险公司亏本的概率是多少？（2）平均利润为多少？

7、设随机变量X有有限期望EX及方差DX??，试用切贝谢夫不等式估计

2P?EX?3??X?EX?3??的值。

|X?EX|?5?的值。 8、设随机变量X的方差为2.5，试用切贝谢夫不等式估计概率P?9、某计算机系统有120个终端，各终端使用与否相互独立，如果每个终端有20%的时间在

使用，求使用终端个数在30个至50个之间的概率。

10、一系统由100个相互独立的部件组成，在系统运行期间部件损坏的概率为0.05，而系统只有在损坏的部件不多于10个时才能正常运行，求系统的可靠度。

11、某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理计算：

(1) 同时用电户数在9030户以上的概率；

(2) 若每户用电200瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证供电 12、对次品率为0.05的一批产品进行抽样检查，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不合格，那么应检查多少个产品，才能使这批产品被认为是不合格的概率(可信度)达到90%。

13、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率。

x?1?1t?0?e414、某厂产品的寿命服从指数分布，其概率密度为f(t)??4 ，工厂规定，

t?0??0售出的产品若在一年内损坏可以调换。若工厂售出1个产品，能获利120元；调换1个产

品，工厂要花费350元，试求工厂出售1个产品的平均获利。

15、一商店经销某种商品，每周进货的数量X与商品的需求量Y相互独立，且均服从均匀分布U(10,20)。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商店可

概率论与数理统计 第26页（共57页）

从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元，试计算此商店经营该各商品每周平均获利。

16、在一家保险公司有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，一年内一个人死亡的概率为0.006,其家属可获得1000元赔偿费，求 （1）保险公司没有利润的概率；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率。

三、证明题

1、设(X,Y)在单位圆内服从均匀分布，试证X与Y不相关，但不相互独立。 2、设X~N(0,1)，则X与Y?|X|不相关，但不相互独立

3、设X与Y都是0－1分布，试证X与Y不相关的充分必要条件是X与Y独立。

(b?a)24、证明：取值于[a,b]区间上的随机变量X，必有D(X)?

45、设A,B是两事件，X???1若A出现?1若B出现 Y??

??1若A不出现??1若B不出现证明X与Y独立的充分必要条件是A,B独立。

数理统计

一、填空题

1、设X1,X2,?Xn为总体X的一个样本，如果g(X1,X2,?Xn) ， 则称g(X1,X2,?Xn)为统计量。

2、设总体X~N(?,?),?已知，则在求均值?的区间估计时，使用的随机变量为 3、设总体X服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本均

值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生

5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

6、某地区的年降雨量X~N(?,?)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：

概率论与数理统计 第27页（共57页）

22 (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则?的矩估计值为 。 7、设两个相互独立的样本X1,X2,?,X21与Y1,?,Y5分别取自正态总体N(1,2)与

22222分别是两个样本的方差，令?1?aS1,?2?(a?b)S2，已知N(2,1)， S12,S2222?12~?2(20),?2~?2(4)，则a?_____,b?_____。

8、假设随机变量X~t(n)，则

1服从分布 。 X229、假设随机变量X~t(10),已知P(X??)?0.05，则??____ 。

10、设样本X1,X2,?,X16来自标准正态分布总体N(0,1)，

X为样本均值，而

P(X??)?0.01， 则??____

11、假设样本X1,X2,?,X16来自正态总体N(?,?)，令Y?3分布

12、设样本X1,X2,?,X10来自标准正态分布总体N(0,1)，X与S分别是样本均值和样

2

2?Xi?110i?4?Xi，则Y的

i?111610X2本方差，令Y?，若已知P(Y??)?0.01，则??____ 。

S2?,??都是总体未知参数?的估计量，13、如果?称??1比??2有效，则满足 。 12??C14、假设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)，?一个无偏估计量，则C?_______。

22?(Xi?1n?1i?1?Xi)2是?2的

15、假设样本X1,X2,?,X9来自正态总体N(?,0.81)，测得样本均值x?5，则?的置信度是0.95的置信区间为 。

216、假设样本X1,X2,?,X100来自正态总体N(?,?)，?与?未知，测得样本均值

2x?5，样本方差s2?1，则?的置信度是0.95的置信区间为 。

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