一、单项选择题（每题2分，共20分） P61关于严平稳与（宽）平稳的关系；
弱平稳的定义：对于随机时间序列yt，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t的变化而变化，则称yt为弱平稳随机变量，即yt必须满足以下条件： 对于所有时间t，有 （i）
E（yt）=μ为不变的常数；
（ii） Var（yt）=σ2为不变的常数；
（iii） γj=E[yt-μ][yt-j-μ]，j=0，±1，,2，… （j为相隔的阶数）
（μ=0，cov（yt，yt-j）=0，Var（yt）=σ2时为白噪音过程，常用的平稳过程。） 从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差，并且自协方差只与yt和yt-j之间的之后期数j有关，而与时间t没有任何关系。 严平稳过程的定义：如果对于任何j1,，j2，...,jk,随机变量的集合（yt，
yt+j1,，yt+j2，…，yt+jk）只依赖于不同期之间的间隔距离（j1，j2，…，
jk），而不依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳
过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。 P46 Xt 的k阶差分是；△
ｋ
Xt=△
ｋ-1
Xt-△ Xt-1，△ 表示差分符号。
ｋ-1
ｐ
滞后算子；P54对于AR： Lpyt=yt-p，对于MA：L特征方程为：λ
p
εt=εt-ｐ
AR（p）模型即自回归部分的特征根—平稳性；确定好差分方程的阶数，则其
-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，若所有的特征根的│λ│<1则平稳
1p
补充：逆特征方程为：1-α1ｚ-α2ｚ2-…-αpｚ=0，若所有的逆特征
根│ｚ│>1，则平稳。注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。 如：p57作业3： yt=1.2yt-1-0.2yt-2+εt，为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。
MA(q)模型Xt??t?1.1?t?1?0.24?t?2，则移动平均部分的特征根----可逆性；p88 所谓可逆性，就是指将MA过程转化成对应的AR过程 MA可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外，
1pｚ+θｚ2+…+θｚ=0，│ｚ│>1， 12p
此题q为2，逆特征方程为：1-1.1ｚ+0.24ｚ2=0， 解得：Z=
即1+θ
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关于AR（p）模型与MA（q）的拖尾与截尾---建模观察相关图定阶；如表所示： AR（p） MA（q） ARMA（p，q） ACF 拖尾 q期后截尾 拖尾 PACF P期后截尾 拖尾 拖尾 若一序列满足ARIMA( p, d, q)模型(d > 0) , 则此序列平稳吗？
答：平稳，因为ARIMA( p, d, q)模型表表示经过d次差分后的序列，其必定是平稳时间序列。
二、填空题（每题2分，共20分）。 平稳时间序列的特点：平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。 （i）
E（yt）=μ为不变的常数；
（ii） Var（yt）=σ2为不变的常数；
（iii） γj=E[yt-μ][yt-j-μ]，j=0，±1，,2，… （j为相隔的阶数）
ARMA 所对应的AR特征方程为？其MA逆特征方程为？ 对于自回归移动平均过程ARMA（p，q）：yt=c+α1
yt-1 +α2 yt-2+…+αp
yt-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q，其对应的AR的特征方程为：
λ-α1λ-α2λ-…-αp=0，MA的逆特征方程为：1+θ
p
p-1
p-2
1
ｚ+θ2ｚ
1
2+…+θpｚp=0
已知AR（1）模型为：xt?2?0.7xt-1??t，20/3 ,偏自相关系数?11= 0.7 。
设{xt}为一时间序列，B为延迟算子，则B2yt?yt-2 。
如果观察序列的时序图平稳，并且该序列的自相关图拖尾，偏相关图1阶截尾，则选用什么ARMA模型来拟合该序列？
ARMA模型包括：AR（）,MA（）.ARMA（）。
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?t~WN(0,??2)，则E(xt)=
由此表可知 AR（p） MA（q） ARMA（p，q） ACF 拖尾 q期后截尾 拖尾 PACF P期后截尾 拖尾 拖尾 应选用AR（1）模型来拟合该序列，
条件异方差模型记号: ARCH(p),
GARCH(p，q),GARCH-in-Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,
三、计算题（ 共4小题，每小题5分，共20分） P57 运用滞后算子得出其逆特征方程
1-α1ｚ-α2ｚ2-…-αpｚ=0。或用特征方程：：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0
例p57（1）.yt=1.2yt-1-0.2yt-2+εt，
为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。为一阶单整。
对下列ARIMA模型，求E(?Yt)和Var(?Yt)。
1p
Yt?3?Yt?1?et?0.75et?1 （et为零均值、方差为?e2的白噪声序列）
?E(?Yt)?E(3?et?0.75et?1)?3?252 ?22Var(?Y)?Var(3?e?0.75e)?(1?0.75)???ettt?1e?16?
关于上面答案的分析：var表示方差，因为白噪音为均值为零、相关系数 cov（yt，yt-j）=0也为零，又方差为?e2，所以得到以上运算结果； 注意方差的运算及性质：
1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX)=C2 D(X) （常数平方提取）； 3.当X与Y相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)
4.当X与Y不独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)+cov（X,Y）
对于ARMA过程 写出其自回归部分ar()及移动平均部分 ma()的特征方程，并求出其各自的特征根，进而判断所给定的过程是否稳定？是否可逆？ 对于自回归移动平均过程ARMA（p，q）：
yt=c+α1 yt-1 +α2 yt-2+…+αp yt-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q，其
对应的AR的特征方程为：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，MA的逆
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特征方程为：1+θ
1
ｚ+θ2ｚ2+…+θpｚ=0。 因为ARMA
1p
模型中MA一定平稳，所以若AR平稳则ARMA平稳，即AR的特征方程的根全都小于零。
假定某公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型：Yt?6?Yt?1?0.4Yt?2?et, 其中?e2?1。
2005年、2006年和2007年的销售额分别是800万美元，1000万美元和1200万美元，预测2008年和2009年的销售额。
Y2008=6+Y2007-0.4Y2006=806（万美元）；Y2009=6+Y2008-0.4Y2007=332（万美元）
四、证明题（16分） P111
考虑MA（2）模型 t
y=εt-θ1ε
t-1
-θ2ε
t-2
（a） 求出yt的均值与方差。 答：E（yt）=E（
εt-θ1ε
t-1
-θ2ε
t-2
）=0，
2
2
2
var（yt）=γ0=E（yt-μ）2=（1+θ1+θ2）σ
五、 实验题（共8小题，每小题3分，共24分）
1、序列 Yt?3?Yt?1?0.6Yt?2?et,（et为零均值、方差为?e2=2的白噪声序列）是平稳的，在Eviews中可以生成此过程的数据来从图像上直观观察其平稳性，请写出该数据生成过程的Eviews代码：
smpl @first @first+1 series y=0
smpl @first+2 @last
series y=3+y(-1) -0.6*y(-2)+@sqrt(2)*nrnd smpl @first @last
2、给出ARMA模型的建模流程。 （a）识别 （b）估计 （c）诊断 （d）预测
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3、已知某序列的时序图如下:试问此序列平稳吗?
4.单位根检验可用来判断序列是否是平稳的，下面是某序列的单位根检验结果， 试问此序列平稳吗?
5. 已知某平稳序列的样本自相关和样本偏相关函数的图像如下:
试问应判定此序列是何种序列? 即对ARMA(p, q) 模型进行定阶，确定具体是何种模型？
6. 已判定某序列 y 满足下列 模型:
试问对模型中参数作估计时, 在执行操作 Quick\\Estimate Equation 后出现的 Equation Estimation 窗口中应输入什么命令？ 应输入：c ar（） ar（）
如果是在Commmand命令窗口直接操作，又应输入什么命令？ 应输入 LS c ar（） ar（）
7、某时间系列进行ARMA(p, q) 模型建模后，检验其残差结果如下： 请根据此检验结果回答该模型残差检验是否通过？模型是否是合适的？ 8、三个拟合模型的比较数据如下： 模型 AIC A B C ARIMA(0,1,1)模型： 24.3 Auto－ B)?26.8 (1?B)xtRegressive?4.99661?(模型一：1?0.70766－.Regressive模型二： xt?691491?4.5158t??t?Auto25.6 ??txt??11.4859???0.5848?t?2?at试比较上述3个模型的优劣并排序。 .033xtt???11?t?AIC越小越好，所以 A??0.4615??a优于C优于B
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