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概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布

习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律.

解： X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0 0 0 3 3512 353 352 352 350 6 356 351 35（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=

22C2C24C7112C3C2C216 P {X=1, Y=1 }= ??43535C722C3C263 P {X=2, Y=0 }= ??43535C722C3C2123 P {X=2, Y=2 }= ??43535C7 P {X=1, Y=2 }=

121C3C2C24C7P {X=2, Y=1 }=

211C3C2C24C731C3C24C7 P {X=3, Y=0 }=

31C3C222 P {X=3, Y=1 }= ??43535C7P {X=3, Y=2 }=0

习题3-2 设随机变量(X,Y)的概率密度为

?k(6?x?y),f(x,y)???0,（1） 确定常数k； （2） 求P?X?1,Y?3? （3） 求P?X?1.5?； （4） 求P?X?Y?4?. 分析：利用P {(X, Y)∈G}=

0?x?2,2?y?4,其它

??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中

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?0?x?2,???Do??(x,y)?

2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)?

?1.50dx?127 (6?x?y)dy?28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 83

习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X表示前2次出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数，求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。

习题3-4 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

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?cx2y,f(x,y)???0,x2?y?1,其它

（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度. 解: （1）l=

??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1（2）X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272?Y~fY(y)????y4dydx?2y?0?0?y?1 其它o y=x2 x

1时X的211条件概率密度；（2）求条件概率密度fY|X(y|x)，特别，分别写出当X?,X?时Y的

32习题3-5 在第7题中，（1）求条件概率密度fX|Y(x|y)，特别，写出当Y?条件概率密度；（3）求条件概率P?Y?(注：上面提到的

??11?31??|X??，P?Y?|X?? 42?42??题应为下面补充的

9

题）

7

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