32322a＋3b19b4a9b4a∴＋＝(＋)·＝(12＋＋)≥4，当且仅当＝， abab66abab332
即a＝，b＝1时，等号成立．∴＋的最小值为4，故选D．
2ab
→→→→→→→→→10. D [解析] ∵(OP＋OF2)·F2P＝0，∴(OP＋OF2)·(OP－OF2)＝0，∴OP2－OF22＝0，OP＝OF2＝c＝OF1，∴PF1⊥PF2，Rt△PF1F2中，∵|PF1|＝3|PF2|，∴∠PF1F2＝30°.由双曲2a
3－12a1PF2a
线的定义得PF1－PF2＝2a，∴PF2＝，sin30°＝＝＝＝，∴2a＝c(3
2F1F22c3－1c(3－1)c
－1)，∴＝3＋1，故选D．
a
11. C [解析] 由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝6b2＋6c2－6a2＝k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值．解：→→→→→→→→→→
AB·BC·cos(π－B)BC·CA·cos(π－C)AB·BCBC·CACA·AB
△ABC中，∵＝＝，∴＝＝
32132→→222222
CA·AB·cos(π－A)ac·cosBab·cosCbc·cosAaca＋c－baba＋b－c
即＝＝，即·＝·＝
132132ac22abb2＋c2－a2
bc，即 2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝6b2＋6c2－6a2，设2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2
2bc－3c2＝6b2＋6c2－6a2＝k，求得 a2＝5k，b2＝3k，c2＝4k，∴a＝5k，b＝3k，c＝4k＝2k，∴由正弦定理可得a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝5:3:2，故选C．
12．C [解析] f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．因为函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，即实数a满足a<1<6－a2，且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.由a<1<6－a2，解得－5 13．[解析] 原式＝2log43＋2 －log 3 4＝ 3＋ 143＝. 33 ππ 14.. [解析] 依题意，f(x)＝1－cos2(＋x)－3cos2x＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin(2x－)＋ 43ππππ2π1π 1.当≤x≤时，≤2x－≤，≤sin(2x－)≤1，此时f(x)的值是[2，3] 4263323 15. 解。设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2 ＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. t2p＋ 2ptt2p 16. [解析] 设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(，)，当t＝0时， 2p233t111 直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝，所以|k|＝≤2＝tptp|t|p|t| p＋＋＋2··2pt2p|t|2p|t|2p＝ 2p|t|2 ，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为， 2|t|2p2 三．解答 17．(本小题满分12分) [解析] (1)根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式： 1(2)求出bn＝，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和． anan＋1 2 解：(1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3 10分 2两式相减得a2n＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 2分 2即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，∵an＞0，∴an＋1－an＝2， ∵a21＋2a1＝4a1＋3，∴a1＝－1(舍)或a1＝3， 4分 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列， ∴{an}的通项公式an＝3＋2(n－1)＝2n＋1： 6分 11111(2)∵an＝2n＋1，∴bn＝＝＝(－)， 8分 anan＋1(2n＋1)(2n＋3)22n＋12n＋3∴ 数列{bn}的前n项和 1111111111nTn＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝． 12分 235572n＋12n＋3232n＋33(2n＋3)18.(本小题满分12分) [解析] (1)频率分布直方图如图所示．所求的平均值为0.01×2×1＋0.015×2×3＋0.2×2×5＋0.15×2×7＋0.125×2×9＝6.46. 2分 5分 125＋125 (2)男居民幸福的概率为＝0.5， 500 175＋125 女居民幸福的概率为＝0.6，故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6＝0.3. 500因此X的可能取值为0,1,2,3,4，且X～B(4,0.3)， 于是P(X＝k)＝Ck0.3k(1－0.3)4k(k＝0,1,2,3,4)，X的分布列为 4× － X P 0 0.240 1 1 0.411 6 2 0.264 6 3 0.075 6 4 10分 0.008 1 ∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2. 12分 19.(本小题满分12分) 解：(1)易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， tt→→→ E(，0,1)，F(0,1,0)．从而EF＝(－，1，－1)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,2,0)． 22→→因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋2＋0＝0.解得t＝2或t＝－2(舍去)． 3分 2→→ 于是EF＝(－，1，－1)，AC＝(2，1,0)． 2 →→→→因为AC·EF＝－1＋1＋0＝0，所以AC⊥EF，即AC⊥EF. 5分 →→ (2)由(1)知，PC＝(2，1，－2)，PD＝(0,2，－2)． 设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则? ?2x＋y－2z＝0 ?2y－2z＝0 令z＝2，则n＝(1，2，2)． 10分 设直线EF与平面PCD所成角为θ， 11→ 则sinθ＝|cos＜n，EF＞|＝.即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为. 12分 5520.(本小题满分12分) c322，得3a?4c， 1分 ?a2222再由c?a?b，得a?2b， 2分 1由题意可知， ?2a?2b?4,即ab?2. 3分 2?a?2b，x2?y2?1. 4分 解方程组?得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为4?ab?2解：（1）由e?(2)由（1）可知A（-2,0）.设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y=k(x+2), 5分 ?y?k(x?2)，?于是A,B两点的坐标满足方程组?x2 2，??y?1?4由方程组消去y整理，得(1?4k)x?16kx?(16k?4)?0, 6分 22222?8k24k16k2?4x?,从而y?, ,由?2x1?得112221?4k1?4k1?4k. 8k22k,). 8分设线段AB的中点为M，则M的坐标为(?221?4k1?4k 以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）.线段AB的垂直平分线为y轴，于是 9分 （2）当k?0时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得 由 10分 ?2(2?8k2)6k4k6kQA?QB??2x1?y0(y1?y0）=?(?) 22221?4k1?4k1?4k1?4k4(16k4?15k2?1)=?4. 22(1?4k)???故2,故k???整理得7k7k?2,k?综上y0=?22或y0=?21.(本小题满分12分) 221414221414所以=?，. 11分所以y0y=0?7755 214. 12分. 5[解析] (1)因为f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，所以函数的定义域为(0，＋∞)． 1－2ax2＋(a－2)x－(2x－1)(ax＋1)1 所以f′(x) ＝－2ax＋(a－2)＝＝. xxx因为f(x)在x＝1处取得极值，即f′(1) ＝－(2－1)(a＋1)＝0，解得a＝－1. 1 当a＝－1时，在(，1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x) >0， 2此时x＝1是函数f(x)的极小值点，所以a＝－1. (2)因为a2 (2x－1)(ax＋1) . x 11 因为x∈(0，＋∞)，所以ax＋1>0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 22 1 ①当0 2 ?②当?1 a 2 1a>，2 1211 即 1aa－2a 所以f(x)max＝f()＝－ln2－＋＝－1－ln2； 2424 12 ③当≤a2，即≤a<1时，f(x)在[a2，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(a2)＝2lna－a5＋a3－2a2. 221 综上所述，当0 212a 当 22．(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4 1分 所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ 2分 2 ≤a<1时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是2lna－a5＋a3－2a2. 2 曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4， 3分 所以C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ. 4分 (2)设点P的极坐标为(ρ1，α)， 5分 ππ 即ρ1＝4cosα，点Q的极坐标为(ρ2，(α－))，即ρ2＝4sin(α－)， 6分 66π31 则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－)＝16cosα·(sinα－cosα) 622 ππ ＝8sin(2α－)－4. ∵α∈(0，)， 8分 62 ππ5ππππ ∴2α－∈(－，)．当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取最大值4. 10分 666623 23. 2