热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答-第-三-章--气体分子热活动速度和能量的统计分布律 下载本文

将π=3.14,N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数:

mmA=4?NA( )2e B?2?KT2KT3∴

2dN?Ae?BV?V2 (1) dv为了避免麻烦和突出分析问题方法,我们只做如下讨论:

由麦氏速率分布律我们知道,单位速率区间分布的分子数随速率的变化,必然在最可几速率处取极大值,极大值为: 令y?2dN?Ae?BV?V2则 dv22dy?A[e?BV?2V?V2?e?BV(?2BV)]?0 dv得V?VP?1 B又在V=0时,y=0,V→∞时,y→0 又VP1?1?B12KT1 VP2?m1?B22KT2 m∵T1=100K<T2=400K ∴VP1<VP2 由此作出草图

13-9根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数的平均值。

v?11?f(V)dvv?0Vm2??2KT?4?()?eVdV02?KT??m2KTm)(?)??e2KTV2?d(?V2) 解:?4?(02?KTm2KT3m3mv2?4?(?mKT)?(?)?e2?KTm32?mV2?2KT02m4??KT?V

3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔,容器贮有100℃的水银,

容器外被抽成真空,已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。 (1) 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 (2) 每小时有多少克水银从小孔逸出?

解:(1)

V?8RT???8?8.31?3733.14?201?10?3

?1.98?102(m/s)(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数,所以每小时从小孔逸

出的分子数为:N?其中

1nV?s?t 411PVd是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数,s??()2是小孔nV??44KT2面积,t=3600s,故N? N=4.05×1019(个) ∴

M?mN?1P?V?s?t,代入数据得: 4KT?NA19201?10?3N??4.05?106.02?1023

?1.35?10?2(g)

3-11如图3-11,一容器被一隔板分成两部分,其中气体的压强,分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同,都等于T。摩尔质量也相同,均为μ。试证明:如隔板上有一面积为A的小孔,则每秒通过小孔的气体质量为:

M??A(P1?P2)

2?RT

证明:设p1>p2,通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。

1 从1跑到2的分子数:N1?n1V1?A?t

41 从2跑到1的分子数:N2?n2V2?A?t

4实际通过小孔的分子数:(从1转移到2)

1?N?N1?N2?At(n1V1?n2V2)

4因t=1秒,n?T1=T2=T

M?m?n??P218RTPAm(1?4??KTKT)(P1?P2)P,V?KT8RT??

∴??1?A4RT8RT??

?A(P1?P2)2?RT若P2>P1,则M<0,表示分子实际是从2向1转移。

3-12 有N个粒子,其速率分布函数为

dNf(v)??C(v0?v?0)

Ndvf(v)?0(v0?v)

(1)作速率分布曲线。 (2)由N和v0求常数C。 (3)求粒子的平均速率。

解:(1) f(v)?C(v0?v?0) f(v)?0(v0?v) 得速率分布曲线如图示

(2)∵?f(v)dv?1

0?∴?f(v)dv?0?cdv?1

0?v0即cv0?1 c? (3)v?1 v0??0vf(v)dv?121cv0?v0 22

3-13 N个假想的气体分子,其速率分布如图3-13所示(当v>v0时,粒子数为零)。(1)由N和V0求a。

(2)求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。 (3) 求分子的平均速率。

解:由图得分子的速率分布函数: Va (0?V?V0) V0Na (V0?V?2V0) N f(v)= 0 (V?2V0) (1) ∵dN?Nf(V)dv

N? ∴

???0Nf(V)dV??V00VadV?V0?2VV0adv1a3V02?aV0?V0a2V022N 3V0

a?(2) 速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数

?N??2V01.5V0Nf(V)dV??2V01.5VadV0

?a(2V0?1.5V0)12NN??V0?23V03

3-14 证明:麦克斯韦速率分布函数可以写作: dN ?F(x2)

dx 其中x?v vp?vp2KT mF(x2)?4N?x2?e?x

2证明:

dN?Nf(v)dv?4?N(?4?N???4Nem)e2?KT3?2v2v2p32?mv22KTv2v2pv2dv3?v?p?ev22p?v2dv

??4N?vd(2v)vp??e?xx2dx∴

2dN4N??e?x?x2?F(x2) dx?

3-15设气体分子的总数为N,试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数

N为:?Nvx???[1?erf(x)]

2N(提示:速度的x分量在0到?之间的分子数为)

2证明:由于速度的x分量在区间vx~vx +dvx内的分子数为:

dNvx?Nve?1p?2vxv2p??dvx

故在vx~?范围内的分子数为: