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离散数学习题解

○11 q ?p 前提引入

○12 p ⑩○11 假言推理 ○

13 p?q

⑩○

12 合取

(5)证明:

① p?r 前提引入 前② q?s 提引入 ③ p?q 前提引入 ④ p ③化简 ⑤ q ③化简 ⑥ r ①④假言推理 ⑦ s ②⑤假言推理 ⑧

r?s

⑥⑦合取

(6)证明:

① t 附加前提引入 ② ?p?r 前提引入 ③ p?q 前提引入 ④ p ③化简

⑤ r ②④析取三段论 ⑥

r?s

⑤附加

说明: 证明中, 附加提前 t, 前提?q?s 没用上. 这仍是正确的推理.

3.15.在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p??(q?r), s?p, q 结论: s?r

(2)前提: (p?q) ??(r?s), (s?t) ?u 结论: p?u

(1)证明:

① s 附加前提引入 ② s?p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p??(q?r) 前提引入 ⑤ q?r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦

r

⑤⑥假言推理

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离散数学习题解

(2)证明:

P 附加前提引入

p?q

①附加 ③

(p?q) ??(r?s)

前提引入 ④

r?s ②③假言推理

S ④化简 ⑥

s?t

⑤附加

(s?t) ?u 前提引入 ⑧

u

⑥⑦假言推理

3.16.在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面推理:

(1)前提: p??q, ?r?q, r??s 结论: ?p

(2)前提: p?q, p?r, q?s 结论: r?s

(1)证明:

① P 结论否定引入 ② p??q 前提引入 ③ ?q ①②假言推理 ④ ?r?q 前提引入 ⑤ ?r ③④析取三段论 ⑥ r??s 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧

?r?r

⑤⑦合取

⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确. (2)证明:

① ??(r?s) 结论否定引入 ② p?q 前提引入 ③ p?r 前提引入 ④ q?s 前提引入 ⑤ r?s

②③④构造性二难 ⑥

??(r?s) ??(r?s)

①⑤合取

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离散数学习题解

⑥为矛盾式, 所以推理正确.

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3.17.P53 17. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明:

只要 A 曾到过受害者房间并且 11 点以前没用离开, A 就犯了谋杀罪. A 曾到过受害者房间. 如果 A 在 11 点以前离开, 看门人会看到他. 看门人没有看到他. 所以 A 犯了谋杀罪.

令 p: A 曾到过受害者房间; q: A 在 11 点以前离开了; r: A 就犯了谋杀罪; s:看门人看到 A.

前提: p??q ??r, p, q ??s, ?s. 结论: r.

前提: p??q ??r, p, q ??s, ?s; 证明: ① ?s ② q ??s ③ ?q ④ p ⑤ p??q ⑥ p??q ??r ⑦ r

结论: r.

前提引入 前提引入

①②拒取 前提引入 ③④合取 前提引入 ⑤⑥假言推理

3.18.在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明.

(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩. 今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.

(2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成 绩不好. 所以小王是文科学生.

(3)明天是晴天, 或是雨天;若明天是晴天, 我就去看电影;若我看电影, 我就不看书. 所以, 如果我看书, 则明天是雨天.

(1)令 p: 今天是星期六; q: 我们要到颐和园玩; r: 我们要到圆明园玩; s:颐和园游人太多.

前提: p??(q?r), s ???q, p, s. 结论: r.

① p ② p?q?r ③ q?r ④ s ⑤ s ???q ⑥ ?q ⑦ r

前提引入

前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入

p p?q?r

s s ???q ?q

q?r

r

(1)的证明树

④⑤假言推理

③⑥析取三段论

离散数学习题解

(2) 令 p: 小王是理科生, q: 小王是文科生, r: 小王的数学成绩很好. 前提: p?r, ?q?p, ?r 结论: q 证明:

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① ② ③ p?r ?r ?p 前提引入 前提引入 ①②拒取式 ?q ?p p?q

?r?p

④ ?q?p 前提引入 ⑤

q

③④拒取式

(2)

的证明树

(3)令 p: 明天是晴天, q: 明天是雨天, r: 我看电影, s: 我看书. 前提: p?q, p?r, r??s 结论: s?q 证明:

① s 附加前提引入 ② r??s 前提引入 ③ ?r ①②拒取式 ④ p?r 前提引入 ⑤ ?p ③④拒取式 ⑥ p?q 前提引入 ⑦

q

⑤⑥析取三段论

r