圆锥曲线最值问题—5大方面
最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值
例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为 ，
解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，线y=?11），准线为y=?，过A、B、M准441的垂线，垂足分别是A1、B1、M1， 431313则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +≥
42424131311AB+=×4+=, 2424411当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值，
4评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值
x2y2??1的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠例2．M，N分别是椭圆42MPN的最大值是 .
解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是x?22，点P(22,y0)(y0?0)，直线PM和PN倾斜角分别为?和?.
∵M(?2,0),N(2,0) ∴kPM?tan??y0?022?2?y032,kPN?tan??y0?0y?0
22?22·1·
y0于是tan?MPN?tan(???) ?tan??tan??1?tan?tan?232
yy01?0?232?y0?22y022223??? 2636?y0?y026y0∵?MPN?[0,∴?MPN??2)
?6 即∠MPN的最大值为
?. 6评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.
三、求几何特征量代数和的最值
x2y2??1上的动点和右焦点，例3.点M和F分别是椭圆定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值.259
⑵求
5|MF|+|MB|的最小值. 4425，准线方程x=±. 54解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=
⑴|MF| + |MB| = 10―|MF′ | + |MB| =10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―210. 故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210. ⑵过动点M作右准线x=
25的垂线，垂足为H， 4则
|MF|44?e??|MH|?|MF|.
5|MH|5517|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=. 44517可见，当且仅当点B、M、H共线时，|MF|+|MB|取最小值.
44于是
评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
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x2?y2?1的右支上一点，M，N分别为(x?5)2?y2?1和例4．点P为双曲线4(x?5)2?y2?1上的点，则PM－PN的最大值为 .
解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点F1(?5,0)和右焦点F2(5,0).
对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交⊙F1
于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交⊙F2于点No.
则
PN0
为
适
合
条
件
的
最
小
的
PN.
于
是
PM?PN?PM0?PN0?(PF1?1)?(PF2?1)?(PF1?PF2)?2?4?2?6
故PM－PN的最大值为6.
评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.
x2y2x2y2例5．已知e1，e2分别是共轭双曲线2?2?1和2?2??1的离心率，则e1+e2的最小值
abab为 .
解析：
a2?b2b2a2?b2a22e??1?2, e2??1?222aabb21
22bab2a22?42?(?)?42?2?8 (e1?e2)?4e1e2?4(1?2)(1?2) 22abab考虑到e1?e2?0，故得e1?e2?22. 即e1+e2的最小值为22.
评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.
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