解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。

习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。

解：由题意，已知错误!未找到引用源。=2kHZ，错误!未找到引用源。=5kHZ，则调制指数为

mf??f5??2.5 fm2已调信号带宽为 B?2(?f?fm)?2(5?2)?14 kHZ

习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

证明：设基带调制信号为错误!未找到引用源。，载波为c(t)=A错误!未找到引用源。，则经调幅后，有

'sAM(t)???1?m(t)??Acos?0t

2'22?(t)??1?m(t)Acos?0t 已调信号的频率 PAM?sAM??2 A2cos2?0t?m'2(t)A2cos2?0t?2m'(t)A2cos2?0t

因为调制信号为余弦波，设错误!未找到引用源。，故

错误!未找到引用源。

A2则：载波频率为 Pc?Acos?0t?

222m'2(t)A2A2?边带频率为 Ps?m(t)Acos?0t? 24'222因此错误!未找到引用源。。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

习题3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换为卷积关系：Z(错误!未找到引用源。)=X(错误!未找到引用源。)*Y(错误!未找到引用源。)。

证明：根据傅立叶变换关系，有

F?1?X????Y?????12??1?????2????j?t????XuY??udued? ???????1??1????ej?tu ????XuY??ud???????2????2????1??jut1?j?t?du ?????XueY?ed???????2????2??变换积分顺序:F-1?X????Y?????1??jut??Xuey?t?du 2????

?x?t?y?t??又因为 z?t??x?t?y?t??F-1?Z????

则 F?1?Z?????F-1?X????Y????错误!未找到引用源。 即 Z????X????Y???

习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ，振幅等于1V。它对频率为10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad。试计算次相位调制信号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ，试求其带宽。

解：由题意，fm?10 kHZ , Am?1 V 最大相移为 ?max?10 rad错误!未找到引用源。

瞬时相位偏移为?(t)?kpm(t)，则kp?10错误!未找到引用源。。

瞬时角频率偏移为d错误!未找到引用源。则最大角频偏错误!未找到引用源。。

因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指数 mf????m?kp?m?m?kp?10

因此，此相位调制信号的近似带宽为

B?2(1?mf)fm?2(1?10)*10?220 kHZ

若fm=5kHZ，则带宽为

B?2(1?mf)fm?2(1?10)*5?110 kHZ

习题3.7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频

移为1mHZ。试求此频率调制信号的近似带宽。

解：由题意，最大调制频移错误!未找到引用源。，则调制指数

mf??f?1000/10?100 fm故此频率调制信号的近似带宽为

s(t)?10cos(2?*106t?10cos2?*103t)

习题3.8设角度调制信号的表达式为错误!未找到引用源。。试求：

（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。

解：（1）该角波的瞬时角频率为

?(t)?2*106??2000?sin2000?t

故最大频偏 错误!未找到引用源。 （2）调频指数 错误!未找到引用源。 故已调信号的最大相移错误!未找到引用源。。

（3）因为FM波与PM波的带宽形式相同，即错误!未找到引用源。，所以已调信号的带宽为

B=2(10+1)*错误!未找到引用源。

习题3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)，载波为cos104πt，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。

解：

方法一：若要确定单边带信号，须先求得m(t)的希尔伯特变换 m’（t）=cos（2000πt-π/2）+cos（4000πt-π/2） =sin（2000πt）+sin（4000πt） 故上边带信号为

SUSB(t)=1/2m(t) coswct-1/2m’(t)sinwct =1/2cos(12000πt)+1/2cos(14000πt) 下边带信号为

SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m’(t) sinwct =1/2cos(8000πt)+1/2cos(6000πt) 其频谱如图3-2所示。

π/2 SUSB（t）

图3-2 信号的频谱图

方法二：

先产生DSB信号：sm(t)=m(t)coswct=···，然后经过边带滤波器产生SSB信号。

习题3.10将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若信号的传输函数H(w)如图所示。当调制信号为m(t)=A[sin100πt +sin6000πt]时，试确定所得残留边带信号的表达式。

解：

设调幅波sm(t)=[m0+m(t)]coswct，m0≥|m(t)|max，且sm(t)<=>Sm(w)

图3-3 信号的传递函数特性

根据残留边带滤波器在fc处具有互补对称特性，从H(w)图上可知载频fc=10kHz，因此得载波cos20000πt。故有

sm(t)=[m0+m(t)]cos20000πt

=m0cos20000πt+A[sin100πt+sin6000πt]cos20000πt

-14 -10.5 -9.5 0 9.5 10.5 14 -8000π-6000ππ/2 -1400π-12000πω 12000π 14000π SLSB（t） 6000π 8000π ω H(w) 1 f/kHz =m0cos20000πt+A/2[sin(20100πt)-sin(19900πt) +sin(26000πt)-sin(14000πt)

Sm(w)=πm0[σ(w+20000π)+σ(W-20000π)]+jπA/2[σ(w+20100π)-

σ(w+19900π)+σ(w-19900π)+σ(w+26000π)-σ(w-26000π) -σ(w+14000π)+σ(w-14000π)

残留边带信号为F(t)，且f(t)<=>F(w)，则F(w)=Sm(w)H(w) 故有：

F(w)=π/2m0[σ(w+20000π)+σ(w-20000π)]+jπA/2[0.55σ(w+20100π) -0.55σ(w-20100π)-0.45σ(w+19900π)+ -σ(w-26000π)

f(t)=1/2m0cos20000πt+A/2[0.55sin20100πt-0.45sin19900πt+sin26000πt]

习题3.11设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW.若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，试问：

1.） 该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性H(w)? 2.） 解调器输入端的信噪功率比为多少? 3.） 解调器输出端的信噪功率比为多少?

4.） 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图型表示出来。 解：

1.） 所以

H(w)=K ，95kHz≤∣f∣≤105kHz

0 ，其他

2.） Si=10kW

Ni=2B* Pn(f)=2*10*103*0.5*10-3=10W 故输入信噪比Si/Ni=1000 3.） 4.）

因有GDSB=2

据双边带解调器的输出嘈声与输出噪声功率关系，有：

故输出信噪比 S0/N0=2000 N0=1/4 Ni =2.5W

故 Pn (f)= N0/2fm=0.25*10-3W/Hz =1/2 Pn(f) ∣f∣≤5kHz

为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声，带通滤波器的

宽度等于已调信号带宽，即B=2fm=2*5=10kHz，其中中心频率为100kHz。

0.45σ(w-19900π)+σ(w+26000π)