2．1.3 推理案例赏析

2．1.4

[对应学生用书P23]

[例1] 观察如图所示的“三角数阵”： 归纳推理的应用 记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N )，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：

(1)

第

6

行

的

6

个

数

依

次

为 、 、 、 、 、 ；

(2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出an＋1与an的关系式．

[思路点拨] (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．

(2)由数阵可直接写出答案．

(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．

[精解详析] (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．

[答案] 6,16,25,25,16,6

(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4， ∴由此归纳：an＋1＝an＋n.

[一点通] 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．

1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[5]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N )．

我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3； [4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；

[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21； …

通过归纳推理，写出一般性结论 (用含n的式子表示)．

解析：第n行右边第一个数是[n2]，往后是[n2＋1]，[n2＋2]，…，最后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．

答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋ … ＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)

2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？

(a) (b) (c) (d)

(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？

(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？

解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为

(a) (b) (c) (d) 顶点数 3 8 6 10 边数 3 12 9 15 区域数 2 6 5 7 顶点数 边数 区域数 (2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，

通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2. (3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．

[例2] 通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …

(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1. 将以上各等式两边分别相加，得

(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 1

即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．

6

类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．

[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n＋1)4－n4，然后将各式相加求解．

[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， …

(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1. 将以上各式两边分别相加，

得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n 1n?n＋1??121

?n＋1?4－14－6×n?n＋1?·?2n＋1?－4×∴13＋23＋…＋n3＝?－n＝n(n＋64?2?41)2.

[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．

(2)类比推理的步骤与方法

第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．

类比推理的应用