tanβ?ayax??2 3-1
β＝-33°41′(或326°19′)
1 -8 一升降机以加速度1.22 m·ｓ上升,当上升速度为2.44 m·ｓ时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．
分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝
-2
y1(t)和y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为
参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．
解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为
1y1?v0t?at2
21y2?h?v0t?gt2
2当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即
11v0t?at2?h?v0t?gt2
22t?2h?0.705s
g?a12gt?0.716m 2 (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为
d?h?y2??v0t?解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋a,螺丝落至底面时,有
10?h?(g?a)t2
2t?(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为
2h?0.705s
g?a1h??v0t?at2
2则 d?h?h??0.716m
5
题 1-8 图
1 -9 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t ,式中a的单位为m·ｓ ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ ,求质点的运动方程．
分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由a-1
2
-2
?dvdx和v?可得dv?adt和dx?vdt．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如dtdt果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分． 解 由分析知,应有
?
由
vv0dv??adt
0t得 v1?4t?t3?v0 (1)
3?xx0dx??vdt
0t得 x将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ代入(1)、(2)得
-1
?2t2?14t?v0t?x0 (2) 12v0＝-1 m·ｓ-1, x0＝0.75 m
于是可得质点运动方程为
x?2t2?A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．
14t?0.75 121 -10 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a＝A -Bv,式中
解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．
(1) 由题意知 a用分离变量法把式(1)改写为
?dv?A?Bv (1) dtdv?dt (2)
A?Bv将式(2)两边积分并考虑初始条件,有
6
tdvdv??dt
0A?Bv?得石子速度 v由此可知当,t→∞时,v(2) 再由vvv0?A(1?e?Bt) B?A为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． B?dyA?(1?e?Bt)并考虑初始条件有 dtBytA?Btdy?(1?e)dt ?0?0By?AAt?2(e?Bt?1) BB-2
得石子运动方程
1 -11 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ ．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．
题 1-11 图
分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即x11?x0?v0xt?axt2和y?y0?v0yt?ayt2,两个分运动均为匀变速直
22线运动．读者不妨自己验证一下．
解 由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得
?又由vv0dv??adt??(6i?4j)dt
00ttv?6ti?4tj
?drdt及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得
?rr0dr??vdt??(6ti?4tj)dt
00ttr?(10?3t2)i?2t2j
7
由上述结果可得质点运动方程的分量式,即
x ＝10＋3t2
y ＝2t2
消去参数t,可得运动的轨迹方程
3y ＝2x -20 m
这是一个直线方程．直线斜率k?dy2?tanα?,α＝33°41′．轨迹如图所示． dx32
1 -12 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．
分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即v均速度的极限即瞬时速度v?ΔrΔt,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平
?drdt．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映质
点在切线方向速度大小的变化率,即at?dvte,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和adt求ρ．
ｔ
v2得到．在求得t 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式an?ρ1
解 (1) 由参数方程
x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2
消去t 得质点的轨迹方程：
y ＝19.0 -0.50x2
(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度
v?Δrr2?r1??2.0i?6.0j Δtt2?t1(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为
v(t)?vxi?vyj?dxdyi?j?2.0i?4.0tj dtdtd2xd2ya(t)?2i?2j??4.0m?s?2j
dtdt则t1 ＝1.00ｓ时的速度
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j 切向和法向加速度分别为
att?1s?dvd2?2et?(vx?v2)e?3.58m?set ytdtdtan?a2?at2en?1.79m?s?2en
8