d2sv2(v0?bt)2at?2??b, an??dtRR故加速度的大小为

at2b2?(v0?bt)4a?a?a?R2n2t

其方向与切线之间的夹角为

?(v0?bt)2?anθ?arctan?arctan?? ?atRb??(2) 要使｜a｜＝b,由

1R2b2?(v0?bt)4?b可得 Rvt?0

b2v0s?st?s0?

2b(3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为

因此质点运行的圈数为

2sv0n??

2πR4πbR1 -17 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．

分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω＝ω(t)确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移． 解 因ωR ＝v,由题意ω∝t 得比例系数

2

2

-1

k?所以 ωωv?3 ??2rad?s22tRt?ω(t)?2t2

ω?2t?2?0.5rad?s?1

则t′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

α?dω?4t??2.0rad?s?2 dtat?αR?1.0m?s?2

总加速度

a?an?at?αRet?ω2Ren

13

a?在2.0ｓ内该点所转过的角度

2?αR?2??ω2R?22?1.01m?s?2

1 -18

232t0?5.33rad

0033一质点在半径为0.10 m的圆周上运动,其角位置为θ?2?4t,式中θ 的单位为rad,t 的单位为

θ?θ0??ωdt??2t2dt?ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？

分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到． 解 (1) 由于θ分别为

?2?4t3,则角速度ω?dθ?12t2．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值dtanat(2) 当att?2s?rω2?2.30m?s?2 ?r2t?2sdω?4.80m?s?2 dt?a/2?12an?at22时,有3at2?an,即

3?24rt??r212t22??

4得 t3?123

此时刻的角位置为

θ?2?4t3?3.15rad

(3) 要使an?at,则有

23?24rt??r212t2t ＝0.55ｓ

-1

??

41 -19 一无风的下雨天,一列火车以v1＝20.0 m·ｓ 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降．求雨滴下落的速度v2 ．(设下降的雨滴作匀速运动)

题 1-19 图

分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为v2?v2?v1 (如图所示),于是可得

'v2?v1?5.36m?s?1 otan7514

1 -20 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v2′,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？

分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足α?arctanl．再由相对速度的矢量关系v?2?v2?v1,即可求出所需车速v． h1

题 1-20 图

解 由v?2?v2?v1［图(b)］,有

??arctan而要使αv1?v2sinθv2cosθ

?arctanl,则 hv1?v2sinθl?

v2cosθh?lcosθ?v1?v2??sinθ?

?h?第二章 牛顿定律

2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )

(A) gsin θ (B) gcos θ (C) gtan θ (D) gcot θ 15

分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．

2 -2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力

Ff的大小( )

(A) 不为零,但保持不变 (B) 随FN成正比地增大

(C) 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定

分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．

2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( ) (A) 不得小于(C) 不得大于

μgR (B) 必须等于μgR

μgR (D) 还应由汽车的质量m 决定

分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN．由此可算得汽车转弯的最大速率应为

v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．

2 -4 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( ) (A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变 (B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 (C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心 (D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加

16